Характеризация измеримых функций с помощью ступенчатых. Следствия

[Mee-Tree]

В финальном конспекте в 4ой теореме не хватает вот этих следствий.

M3137year2019/analysis/4sem/2.tex

Lines 46 to 82 in 9c35de2

	\begin{corollary}\itemfix
	\begin{itemize}
	\item \(f\) --- измеримо
	\end{itemize}
	Тогда \(\exists f_n\) --- ступенчатые : \(f_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} f\) всюду и \(|f_n| \leq |f|\)
	\end{corollary}
	\begin{proof}
	Рассмотрим срезки \(f^{+}, f^{-}\), дальше очевидно.
	\end{proof}
	\begin{corollary}\itemfix
	\begin{itemize}
	\item \(f, g\) --- измеримо
	\end{itemize}
	Тогда \(fg\) --- измеримо (пусть \(0\cdot \infty = 0\)).
	\end{corollary}
	\begin{proof}
	\[\underbrace{f_n}_{\text{ступ.}} \to f, \underbrace{g_n}_{\text{ступ.}} \to g\]
	\[f_n g_n \text{ --- ступ.} \quad f_n g_n \to fg\]
	Измеримость выполняется в силу измеримости предела.
	\end{proof}
	\begin{corollary}\itemfix
	\begin{itemize}
	\item \(f, g\) --- измеримо
	\end{itemize}
	Тогда \(f + g\) измеримо.
	\begin{remark}
	Считаем, что \(\forall x\) не может быть одновременно \(f(x) = \pm \infty, g(x) = \pm \infty\).
	\end{remark}
	\end{corollary}
	\begin{proof}
	\[f_n + g_n \to f + g\]
	\end{proof}