时间序列模型

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时间序列模型

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hiyouga commented 7 years ago

还没学过数理统计的课程，看这些知识是真的吃力，不写点东西的话完全看不下去><，下面开始正文：

时间序列即按时间顺序排列的、随时间变化且相互关联的数据序列。
分析时间序列的方法构成数据分析的一个重要领域，即时间序列分析。

§0 时间序列分类：

按研究对象的多少：一元时间序列、多元时间序列
按时间的连续性：离散时间序列、连续时间序列
按序列的统计特性：平稳时间序列、非平稳时间序列
- 如果一个时间序列的概率分布与时间$t$无关，则称该序列为严格的（狭义的）平稳时间序列。
- 如果序列的一、二阶矩存在，而且对任意时刻$t$满足：
  1. 均值为常数
  2. 协方差为时间间隔$\tau$的函数
  则称该序列为宽平稳时间序列，也叫广义平稳时间序列。我们以后所研究的时间序列主要是宽平稳时间序列。
按序列的分布规律：高斯型时间序列、非高斯型时间序列

§1 时间序列分析方法概述：
时间序列预测技术就是通过对预测目标自身时间序列的处理，来研究其变化趋势的。
一个时间序列往往是以下几类变化形式的叠加或耦合。

长期趋势变动。
它是指时间序列朝着一定的方向持续上升或下降，或停留在某一水平上的倾向，它反映了客观事物的主要变化趋势。
季节变动。
循环变动。
通常是指周期为一年以上，由非季节因素引起的涨落起伏波形相似的波动。
不规则变动。通常它分为突然变动和随机变动。

通常用$T_t$表示长期趋势项，$S_t$表示季节变动趋势项， $C_t$表示循环变动趋势项，$R_t$表示随机干扰项。常见的时间序列模型有以下几种类型：

加法模型：$y_t = T_t + S_t + C_t + R_t$
乘法模型：$y_t = T_t · S_t · C_t · R_t$
混合模型：$y_t = T_t · S_t + R_t$ 或 $y_t = S_t + T_t · C_t · R_t$

其中$y_t$是观测目标的观测记录，$E(R_t) = 0， E(R_t^2) = \sigma^2$
如果在预测时间范围以内，无突然变动且随机变动的方差$\sigma^2$较小，并且有理由认为过去和现在的演变趋势将继续发展到未来时，可用一些经验方法进行预测。

§2 移动平均法
移动平均法是根据时间序列资料逐渐推移，依次计算包含一定项数的时序平均数，以反映长期趋势的方法。当时间序列的数值由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏较大，不易显示出发展趋势时，可用移动平均法，消除这些因素的影响，分析、预测序列的长期趋势。
移动平均法有简单移动平均法，加权移动平均法，趋势移动平均法等等。

2.1 简单移动平均法
设观测序列为$y_1,\cdots, y_T$，取移动平均的项数$N<T$。一次简单移动平均值计算公式为：
$$\begin{align}
M_t^{(1)}
& = \frac1N(y_t + y_{t-1} + \cdots + y_{t-N+1})\\
& = \frac1N(y_{t-1} + \cdots + y_{t-N}) + \frac1N(y_t - y_{t-N})\\
& = M_{t-1}^{(1)} + \frac1N(y_t - y_{t-N}) \tag1
\end{align}$$
当预测目标的基本趋势是在某一水平上下波动时，可用一次简单移动平均方法建立预测模型：
$$\hat{y}_{t+1} = M_t^{(1)} = \frac1N(y_t + \cdots + y_{t-N+1}, t = N, N+1, \cdots, T\tag2$$
其预测标准误差为：
$$S = \sqrt{\frac{\sum_{t=N+1}^T(\hat{y}_t - y_t)^2}{T-N}} \tag3$$

最近$N$期序列值的平均值作为未来各期的预测结果。一般$N$取值范围：$5\leq N\leq200$。当历史序列的基本趋势变化不大且序列中随机变动成分较多时，$N$的取值应较大一些。否则$N$的取值应小一些。在有确定的季节变动周期的资料中，移动平均的项数应取周期长度。选择最佳$N$值的一个有效方法是，比较若干模型的预测误差。预测标准误差最小者为好。

例1：某企业1月~11月份的销售收入时间序列如表1所示。试用一次简单滑动平均法预测第12月份的销售收入。
表1 企业销售收入

月份$t$	1	2	3	4	5	6
销售收入$y_t$	533.8	574.6	606.9	649.8	705.1	772.0

月份$t$	7	8	9	10	11
销售收入$y_t$	816.4	892.7	963.9	1015.1	1102.7

解：分别取$N=4, N=5$的预测公式：
$$\hat{y}_{t+1} = \frac{y_t + y_{t-1} + y_{t-2} + y_{t-3}}4, t = 4, 5, \cdots, 11$$
$$\hat{y}_{t+1} = \frac{y_t + y_{t-1} + y_{t-2} + y_{t-3} + y_{t-4}}5, t = 5, \cdots, 11$$
当$N=4$时，预测值$\hat{y}_{12}^{(1)}=993.6$，预测的标准误差为
$$S_1 = \sqrt{\frac{\sum_{t=5}^{11}(\hat{y}_t^{(1)} - y_t)^2}{11-4}} = 150.5$$
当$N=5$时，预测值$\hat{y}_{12}^{(2)}=958.2$，预测的标准误差为
$$S_1 = \sqrt{\frac{\sum_{t=6}^{11}(\hat{y}_t^{(2)} - y_t)^2}{11-5}} = 182.4$$
计算结果表面，$N=4$时，预测的标准误差较小，所以选取$N=4$。预测第12月份的销售收入为993.6。

计算的MATLAB程序如下：

clc, clear
y = [533.8, 574.6, 606.9, 649.8, 705.1, 772.0, 816.4, 892.7, 963.9, 1015.1, 1102.7];
m = length(y);
n = [4,5];
%n为移动平均的项数
for i = 1:length(n)
    %由于n的取值不同，yhat的长度不一致，下面使用了细胞数组
    for j = 1:m-n(i)+1
        yhat{i}(j) = sum(y(j:j+n(i)-1)) / n(i);
    end
    y12(i) = yhat{i}(end);
    s(i) = sqrt(mean((y(n(i)+1:m)-yhat{i}(1:end-1)).^2));
end
y12, s

Output:

y12 = 993.6000 958.1600
s = 150.5121 182.3851

简单移动平均法只适合做近期预测，而且是预测目标的发展趋势变化不大的情况。如果目标的发展趋势存在其它的变化，采用简单移动平均法就会产生较大的预测偏差和滞后。

参考文档：
时间序列模型.pdf