[Foglio 11] Esercizio 2

[Elia-Belli]

[CuriousCI]

1)

Sappiamo che la catena è ergodica, quindi la probabilità stazionaria $\pi$ (con autovalore 1) è unica. Per trovare l'autovettore con autovalore 1 basta risolvere la seguente equazione

$$ \begin{pmatrix} \pi(1) & \pi(2) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3}\\ \frac{2}{5} & \frac{3}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \pi(1) & \pi(2) \end{pmatrix} $$

Per cui si ha

$$ \begin{pmatrix} \pi(1) & \pi(2) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3}\\ \frac{2}{5} & \frac{3}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3}\pi(1)+\frac{2}{5}\pi(2) & \frac{1}{3}\pi(1) + \frac{3}{5}\pi(2) \end{pmatrix} $$

E bisogna risolvere il sistema

$$ \begin{cases} \pi(1) = \frac{2}{3}\pi(1)+\frac{2}{5}\pi(2)\\ \pi(2) = \frac{1}{3}\pi(1) + \frac{3}{5}\pi(2)\\ \pi(1) + \pi(2) = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} \pi(1) = \frac{6}{11}\\ \pi(2) = \frac{5}{11} \end{cases} \implies \pi = \begin{pmatrix} \frac{6}{11} & \frac{5}{11} \end{pmatrix} $$

2)

$$ \lim\limits_{n\to\infty} P^n = \begin{pmatrix} \frac{6}{11} & \frac{5}{11}\\ \frac{6}{11} & \frac{5}{11} \end{pmatrix} $$

Note

TODO: lo devo dimostrare, ma basta vedere cosa succede nel caso generico per il vettore (0 1) e il vettore (1 0)

3)

Sappiamo che la catena è ergodica, quindi, per il teorema ergodico sappiamo che

$$ \lim\limits_{n\to\infty} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} P^n = \pi = \begin{pmatrix} \frac{6}{11} & \frac{5}{11} \end{pmatrix} $$