[Foglio 9] Esercizio 6

[Elia-Belli]

[cornflexxx]

Soluzione del Prof

$1)$ Calcolo la distribuzione di $V^2$ definita in un intervallo $[0,1]$:

$$\mathbb{P}\{a\le V^2 \le b\}=\mathbb{P}\{\sqrt{a}\le V \le \sqrt{b}\}+\mathbb{P}\{\sqrt{a}\le V \le -\sqrt{b}\}=2\mathbb{P}\{\sqrt{a}\le V \le \sqrt{b}\} =\int^{\sqrt{b}}_{\sqrt{a}} 2f_v(v)dv=\cdots$$

$$\cdots=\begin{pmatrix} x=v^2\\ v=\sqrt{x}\\ dx=2vdv\\ dv=\frac{1}{2\sqrt{x}} \end{pmatrix}=\int_a^b \frac{1}{2\sqrt{x}} dx \longrightarrow f_{v^2}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

$2)$ analizziamo la funzione di ripartizione di $Y=log(\frac{1}{U})$:

$$F_y(y)=\mathbb{P}\{Y\le y\}=\mathbb{P}\{Y\le y\}=\mathbb{P}\{log\frac{1}{U}\le y\}=\mathbb{P}\{\frac{1}{U}\le e^y\}=\mathbb{P}\{U\ge e^{-y}\}=\int^1_{e^{-y}} f_u(u) du=1-e^{-y}$$

$$f_y(y)=\frac{d}{dy} F_y(y)=e^{-y}$$