[Foglio 9] Esercizio 7

[Elia-Belli]

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Spazio degli eventi $\Omega=\{(a,b),a,b=1,2\}$ con $a$ il numero scelto da $A$ e $b$ quello scelto da $B$
Consideriamo le v.a $G_A,G_B$ che indicano il guadagno, rispettivamente, di $A$ e $B$:

$$G_A=\begin{cases}-2\ \ \ \ \ \ (2,2)\\ -1\ \ \ \ \ \ (1,1)\\ 0.75\ \ \ \ (1,2)(2,1)\end{cases}G_B=\begin{cases}-0.75\ \ \ \ (1,2)(2,1)\\ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1,1)\\ 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2,2)\end{cases}$$

(1) $\mathbb{E}(G_B|A=1)=-\frac{3}{4}\cdot (1-p)+1\cdot p=\frac{7}{4}p-\frac{3}{4}$
(2) $\mathbb{E}(G_B|A=2)=2\cdot (1-p)+(-\frac{3}{4})\cdot p=2-\frac{11}{4}p$
(3) Siano $v_1(p)=\frac{7}{4}p-\frac{3}{4}$ e $v_2(p)=2-\frac{11}{4}p$, vogliamo trovare il massimo della seguente funzione:
$$v(p)=min\{v_1(p),v_2(p)\}$$

Siccome $v_1(p)$ e $v_2(p)$ sono lineari, il massimo di $v(p)$ sarà nel punto di intersezione delle due:
$$v_1(p)=v_2(p)\iff \frac{7}{4}p-\frac{3}{4}=2-\frac{11}{4}p\iff p=\frac{11}{18}$$

(4) $\mathbb{E}(G_A|B=1)=(-1)\cdot q+(1-q)\cdot \frac{3}{4}=-\frac{7}{4}q+\frac{3}{4}$
(5) $\mathbb{E}(G_A|B=2)=(-2)\cdot (1-q)+q\cdot (\frac{3}{4})=\frac{11}{4}q-2$
(6) Siano $w_1(q)=-\frac{7}{4}q+\frac{3}{4}$ e $w_2(q)=\frac{11}{4}q-2$, vogliamo trovare il minimo della seguente funzione:
$$w(q)=max\{w_1(q),w_2(q)\}$$

Siccome $w_1(q)$ e $w_2(q)$ sono lineari, il minimo di $w(q)$ sarà nel punto di intersezione delle due:
$$w_1(q)=w_2(q)\iff -\frac{7}{4}q+\frac{3}{4}=\frac{11}{4}q-2\iff q=\frac{11}{18}$$