Day1 - JS 整数是怎么表示的？
su37josephxia opened this issue · 19 comments
知识讲解
系统 + 全面
万能的Number
JavaScript 内部，所有数字都是以64位浮点数形式储存，即使整数也是如此。所以，1与1.0是相同的，是同一个数。
做一个实验
typeof 1 // number
typeof 1.0 // number
1 === 1.0
Number类型的表示范围
浮点数的结构
根据国际标准 IEEE 754，JavaScript 浮点数的64个二进制位。
- 第一部分（蓝色）：用来存储符号位（sign），第1位：符号位，
0表示正数，1表示负数 - 第二部分（绿色）：用来存储指数（exponent），第2位到第12位（共11位）：指数部分
- 第三部分（红色）：用来存储小数（fraction），第13位到第64位（共52位）：小数部分（即有效数字）
fraction决定了整数安全表示范围
也就是
(-1)^s * f * 2^e
-
符号部分 -1 or 1
-
f的范围为1<=f<2 使用52位表示
-
指数有正有负，指数位长度为11比特，所以能表示的数字范围为0~2047
所以很明显最大位应该由f决定，也就是说所有的52位用作表示整数部分。
52位为什么可以表示53位小数
因为小数部分只需要表示尾数就可以，整数部分可定等于一
52位太多不好理解，假设我们以3位(bit)数
0.10 (二进制) 可以表示为 1.00 * 2^-1
0.01 (二进制) 可以表示为 1.00 * 2^-2
这样的话由于整数部分一定等于1，所以可以把整数部分省略。
也就是说3位数可以表示做小数表示的时候可以表示4位小数
为什么不是指数部分决定的
0.1123 * 2^1024
当然这里面有人会问为什么不是指数部分决定呢。上面这个数的范围是不是比我们的讨论的数据范围更大呢。
其实并不是这样，因为实用指数表示并不能表示连续的数字。所以这个方案不可取。
整数的表示范围
Math.pow(2,53) - 1 // 最大
Number.MAX_SAFE_INTEGER // 常数表示
- (Math.pow(2,53) - 1) // 最大
Number.MIN_SAFE_INTEGER // 常数表示面试攻略
精炼 + 系统 + 自洽
- 基本概念：JavaScript 内部，所有数字都是以64位浮点数形式储存。
- 整数表示范围不用直接分析
点评
- 这道题属于基本概念题，但是如何用二进制表示浮点数很容易能够看出来，逻辑非常复杂。很容易看出应聘这的基本功，和理性思维能力。
- 初级： 知道Number
- 中级： 说出表示范围推导过程
- 高级： 推导过程分析合理且可以和其他语言对比。
有了第一题的回答，大家都明白 IEEE 754 中规定有 11位的指数位，52位的小数位。
所以如何让这52位小数位变成整数是关键。
我们知道在10进制中如果想把n位小数变成整数就乘 10^n, 所以在二进制也是一样，当11位的指数位表示的数值为52时,我们就可以表示成整数了。
可能有些小伙伴会问，如果是这样为啥最大的安全整数不是2^52 -1 吗，为什么是2^53-1呢？
因为在科学计数法的尾数部分是大于1的，我们肯定不能以0为尾数部分的开头，所以这个尾部的1是被省略掉的。我们的52位是小数位，所以最大的安全整数时2^53-1而不是2^52-1.
但是还有一个问题没有被解决，就是既然科学计数法中的尾部1是被默认设置了的。我们就没有指数位为52是我们没办法表示0.
关于0，IEEE 754有专门的规定，规定指数位为0，小数位为0，则表示为0.而JS表示的浮点数有sign位，所以这就解释了JS中有两种0的表示方式。
以上就是关于JS整数是如何表示的简单解释。
PS：我昨天向群里的小伙伴安利了我之前写的文章,由于当时没玩掘金，所以只是写完后复制到掘金上，今天发现有很多排版问题，同时也有些知识点不明确和错误的地方，我又进行了重新排版，感兴趣的可以去看看，欢迎留言讨论https://juejin.cn/post/6844903581993140237
答
在JavaScript中数字为双精度浮点类型遵循 IEEE754 标准
介于±2^−1023和±2^+1024之间的数字，或约为±10−308到±10+308，数字精度为53位。整数数值仅在±(2^53 - 1)的范围内可以表示准确
默认十进制数，数字添加0b表示二进制数，0开头且所有数字小于8表示表示八进制数；0x开始表示16进制数
这就是我理解的JavaScript整数表示方法
扩展
什么是双精度浮点型？
浮点型可以理解为【科学计数法】，双精度是相对于单精度，单精度完全保证的有效数字最高位是7位，双精度完全保证的有效数字最高是15位；有啥区别呢？双精度提供了更高的数值精度；
参考
https://javascript.ruanyifeng.com/grammar/number.html#toc1
答案
（考察 JS 怎么表示数字）。
在 JavaScript 内部，所有数字都是以 64 位浮点数存储，从左边开始：
1 位符号位：0 正数，1 负数，
11 位表示指数(0 到 2047)，
52 位表示小数（有效数字）。
由于有效数字第 1 位总是 1，不保存在浮点数里，所以 JS 提供的有效数字最长为 53 个二进制位。
因此只有绝对值小于 2 的 53 次方 （Math.pow(2, 53) - 1）的数字才能精确表示。
JS整数是使用Number类型来表示的，Number类型使用IEEE 754格式表示整数和浮点数
整数一般用十进制表示，也可以用八进制或十六进制字面量表示
对于八进制字面量，第一个数字必须是0，然后是相应的八进制数字
要创建十六进制字面量，必须让真正的数值前缀 0x（区分大小写），然后是十六进制数字
JS遵循 IEEE 754规范，采用双精度存储，占用64bit
1 位用来表示符号位
11 位用来表示指数
52 位表示尾数
尾数位最大是 52 位，因此 js 中能精准表示的最大整数是 Math.pow(2， 53）
一般来说64位整形数字的最大安全值范围是2^63-1，JS中的数字类型，实际上是通过8字节double浮点型表示的，浮点数并不能够精确表示范围内的所有数字，正常的浮点数类型遵循IEEE754规范，按照浮点数的运行规范，1位符号位，11位指数位，剩下的是52位数字位，因此js中的数字类型的表示最大安全范围是2^53 - 1 位数。
可以使用 Number.MAX_SAFE_INTEGER来表示 即
Math.pow(2， 53) - 1
JS如何表示整数
首先在js中使用number数据类型表示整数 (64位存储 8 字节)
js number类型是遵循IEEE754标准的64位双精度浮点数。
标准中指明1位符号位11位指数位52位尾数, 取值范围取决于指数位，计算精度取决于尾数
所以最大数为2 ^ 1024 - 1(2^11 = 2048, +-指数/2 = 1024), 最大安全数为2^53-1
- 那么这里为什么需要减一而且不是52呢？
- IEEE754规定，在计算机内部保存有效数字时，默认第一位总是1, 所以舍去，只保留后面的部分。比如保存1.01，只存01，等读取的时候再把第一位1加上去。所以52位有效数字实际可以存储53位。
- 那么为什么超过最大安全数计算就不再准确了?
- 在安全数范围中，双精度数和整数一一对应, 也就是说, 整数都有唯一的浮点数表示, 但是象2^53+1和2^53存储一样，这样就不再一一对应。
- 为什么超过最大安全数的两个数会存储的一样呢？
- 因为在指数位是53的情况下，尾数在乘以2的53次幂后, 相当于小数点向后移动了53位。此时, 小数点不是在尾数最后一位的后面, 而是在其后面的后面, 所以它们存储的一样
js的底层根本没有整数，都是用二进制64位浮点数表示
根据国际标准IEEE754，64位二进制从左开始
- 第1位：符号位，0正数，1负数
- 第2位到12位（11位）：指数部分，0-2047，正负各一半，因此数值范围在2^-1023~2^1024
- 第13位到第64位（52位）：小数部分，控制精度，有效数字第一位总是1，只保留后面的小数位，因此有53个二进制位有效数，-2^53~2^53范围内的数都可以精确表示
JS整数是怎么表示的
通过Number类型表示
JS Number 类型是双精度的IEEE754 64位浮点类型
1位是符号位
11位是指数位
52位是尾数位
IEEE754规定有效数字第一位总是1，也即是说有效数字总是1.xxx的形式.xxxx是52位尾数位
所以js中有效的数字是52个二进制位 所以我们的安全数值田-Math.pow(2, 53) - 1 到 Math.pow(2, 53) - 1
在我们代码中表示整数方式：
- 字面量 常见的十进制，
- 0开始的8进制（0-7）
- 0x开始的16进制（0-9A-F）
- 2进制 0b开头 ，
但转化或运算后都已十进制显示
表达方式
- 还有可以通过new Number的形式
- 还有一些 parseInt()， Math.floor()的等等一些方法
一些较大的值或转成科学计数法的方式：e前面的数值乘以10的指数幂
在JS里我们用 Number 来表示整数，Number，Double Float，浮点数是采用科学计数法来表示的，由符号位、有效位数、指数位三部分组成
有效位数决定了这个数的精度，指数位表示浮点数表示的范围，这里的位是指二进制，0或1表示，浮点数可以表示很大的数，在表示最大数的时候，可能不是每个整数都能表示了，数越大能表示的数就越稀疏
双精度浮点数是64位组成：
符号位1位：不参与计算的，0表示正数1表示负数
指数位11位：有个基准值，10000000000
有效位数52位：有效数字隐藏了个1，因为以0开头没有意义
数字 = 符号位 + 精度位*2^指数次方
在 JS中，所有数字都是以 双精度64 位浮点数存储，
其中包括1位符号位，11位指数位，52位小数位，
用来控制精度的是52位小数位，浮点数在内存中是按科学计数法来存储的，其整数部分始终是一个隐含着的1
所以JS中可以明确表示精度的数字范围在正负2的53次方，而不是52次方
JavaScript 中使用 Number 类型表示整数，而且遵循 IEEE 754 格式。
Number 类型
JavaScript 中 Number 类型使用 IEEE 754 格式表示整数和浮点值。
IEEE 754 中双精度浮点数使用 64 bit 来进行存储：
第一位存储符号表示正负号 0 正 1 负
2-12位存储指数表示次方数
13-64位存储尾数表示精确度
浮点数在计算机中的存储方式：
浮点数会被转成对应的二进制数，并用科学计数法表示，
然后把这个数值通过 IEEE 754 标准表示成真正会在计算机中存储的值。
扩展
因为内存的限制，Number 类型并不能表示这个世界上的所有数值，当然也包括所有整数。
JavaScript 中所能表示的最大安全整数 Math.pow(2, 53)-1,最小安全整数为 -Math.pow(2, 53)-1。
为什么最大安全整数是 Math.pow(2, 53)-1 呢？
- 首先解释位数的问题，因为
IEEE 754规定尾数第一位隐含为1，不写，所以虽然尾数有52位，但是可以表达53位数。 - 关于安全，
安全的意思是说能够one-by-one表示的整数，也就是说在(-2^53, 2^53)范围内，双精度数表示和整数是一对一的，反过来说，在这个范围以内，所有的整数都有唯一的浮点数表示，这叫做安全整数。
那为什么要 -1 呢？
是因为安全的意思是整数和浮点数一一对应，而
2^53-1是这样存的:
符号位：0 指数：52 尾数：1.111111....111 （小数点后一共52个1）
2^53是这样存的:
符号位：0 指数：53 尾数：1.000000...000 （小数点后一共52个0）
2^53+1是这样存的:
符号位：0 指数：53 尾数：1.000000...000 （小数点后一共52个0）
可以看到因为 2^53 已经是 64 bit 双精度浮点数可以表示的最大值了， 2^53 与 2^53+1 转成 64 bit 双精度浮点数后的结果是相同的，此时发生了精度丢失，所以 2^53 不是安全整数。
那 JavaScript 中如果数值超出了可以表示的范围会怎样呢？
如果计算得到的值超出了 JavaScript 可以表示的范围，那么这个数值会被自动转换为一个特殊的 Infinity（无穷）值。任何无法表示的负数以 -Infinity (负无穷大）表示，任何无法表示的正数以 Infinity(正无穷大）表示。
要确定一个值是不是有限大（即介于 JavaScript 能表示的最小值和最大值之间），可以使用 isFinite() 函数，如下所示：
const result = Number.MAX_VALUE+Number.MAX_VALUE;
console.log(isFinite(result); // false
js中整数用Number类型表示，然后存为双精度浮点数，1位符号位表示正负，11位指数位表示范围，52位有效数字表示精度。因为有效数字只有52位，所以超过了52位就会表示不准确。然后就出现了安全整数的概念，就是在-2的53次方到2的53次方之间，每一个整数都有唯一一个浮点数和它一一对应。在这个区间之外则无法保证。也就无法保证准确性了。之所以是53次方是因为根据规范默认有效数字开头是1，然后把腾出了一个空间多记了一个数，所以是2的53次方。
+0 和 -0 是因为符号位占了一位，所以其他为0时就出现了+0和-0。
在 Javascript 中数字只有一种类型，即双精度，64 位二进制，符合 IEEE754 格式的值。
所有的数字都是用 64 位来表示，
其中 1 位是符号位，11 位是指数位，52 位表示小数位就是有效的数字
因为有效数字的默认第 1 位终是 1 那么就不用浪费 1 位去保存它了，只需要在执行数学运算的时候，把这个 1 补回来即可；
所以 js 提供的有效数字位是 53 个二进制位，
最后绝对值小于 2 的 53 次方的整数就能被精准的表示。
-
js中的Number 类型按 IEEE 754（浮点数运算标准） 来表示整 数和浮点值(双精度值)。
-
双精度二进制小数，使用64个比特位存储。
-
1位，S（符号位），0表示正，1表示负；
-
11位，E（指数）
-
52位，M（小数位），任意有效数字
-
JS 中能精准表示的最大整数是 Math.pow(2, 53)，十进制即 9007199254740992。
-
双精度浮点数有效数字16位
-
最基本的数值字面量格式是十进制整数，除了十进制，整数也可以用八进制(以 8 为基数)或十六进制(以 16 为基数)字面量表示。
-
使用八进制（前缀0o）和十六进制（前缀0x）格式创建的数值在所有数学操作中都被视为十进制数值
-
因为存储浮点值使用的内存空间是存储整数值的两倍，所以 ECMAScript 总是想方设法把值转换为 整数。在小数点后面没有数字的情况下，数值就会变成整数。
-
js中的Number 类型按 IEEE 754（浮点数运算标准） 来表示整 数和浮点值(双精度值)。
-
双精度二进制小数，使用64个比特位存储。
-
1位，S（符号位），0表示正，1表示负；
-
11位，E（指数）
-
52位，M（小数位），任意有效数字
-
JS 中能精准表示的最大整数是 Math.pow(2, 53)，十进制即 9007199254740992。
-
双精度浮点数有效数字16位
-
最基本的数值字面量格式是十进制整数，除了十进制，整数也可以用八进制(以 8 为基数)或十六进制(以 16 为基数)字面量表示。
-
使用八进制（前缀0o）和十六进制（前缀0x）格式创建的数值在所有数学操作中都被视为十进制数值
-
因为存储浮点值使用的内存空间是存储整数值的两倍，所以 ECMAScript 总是想方设法把值转换为 整数。在小数点后面没有数字的情况下，数值就会变成整数。
在js中 通过 Number 类型来表示整数，以双精浮点数的方式在计算机中储存和运算，遵循 IEEE754 标准，它通过 64 位来表示一个数字。
- 1位，S（符号位），0表示正，1表示负；
- 11位，E（指数）数字的指数
- 52位，M（小数位），任意有效数字
因为有效数字的默认第 1 位终是 1 那么就不用浪费 1 位去保存它了，所以实际有效数字位是 53 位
所以，js十进制表示的最大安全数字是 Math.pow(2, 53) - 1 。
首先，得知道，js是使用IEEE 754格式的双精度浮点数。1bit表示符号位，11bit表示指数位，52bit表示尾数位。
- 符号位，0表示整数，1表示负数。
- 指数位，由于有11位，可以表示0~2^11-1的指数即0~2047，由于指数有正负，偏移一个1024，即得-1024~1023，这里规定去掉0和2047两个边界值不予使用，那么少两个数，偏移量也少1，即表示的指数范围为-1023~1022。
- 尾数位，由于科学计数法都为1开头，那么1可以默认不存储，则52bit其实可以表示长度为53位的二进制科学计数的系数。
讲到这里，js可表示最大数，应为1.1111---111*2^1022(小数点后52个1),是一个很大的数，但是尾数精度实际只有52，超出的部分都丢失掉了，所以最大的整数应该是1.111---111*2^52(小数点后52个1),这样可以保证数的每一位都有记录下来，答案就是2^53-1。
JS中的Number类型其实就是双精度浮点数，它是按IEEE754标准实现的，在这个标准中是用科学计数法来表示一个数的。
那么具体而言的话，双精度浮点数，它其中的一位是用来表示这个数正负的，11位是用来表示科学计数法中的指数，用52位来表示科学计数法中的有效数字。
因此的话，在JS中安全的最大整数就是Math.pow(2, 53)-1，这是因为有效数字有效数位是53位。
Ps: 最小安全整数为 -Math.pow(2, 53)-1