leetcode 746. 使用最小花费爬楼梯

[xxleyi]

题：

数组的每个索引做为一个阶梯，第 i个阶梯对应着一个非负数的体力花费值 costi。

每当你爬上一个阶梯你都要花费对应的体力花费值，然后你可以选择继续爬一个阶梯或者爬两个阶梯。

您需要找到达到楼层顶部的最低花费。在开始时，你可以选择从索引为 0 或 1 的元素作为初始阶梯。

示例 1:

输入: cost = [10, 15, 20]
输出: 15
解释: 最低花费是从cost[1]开始，然后走两步即可到阶梯顶，一共花费15。
 

示例 2:

输入: cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1]
输出: 6
解释: 最低花费方式是从cost[0]开始，逐个经过那些1，跳过cost[3]，一共花费6。

注意：

1. cost 的长度将会在 [2, 1000]。
2. 每一个 cost[i] 将会是一个Integer类型，范围为 [0, 999]。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/min-cost-climbing-stairs
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解：

看到此题，应该联想到「斐波那契数列」，除非你之前没做过「斐波那契数列」问题。

每一步有两个选择：一步或者两步
换句话说：当前位置 f(n) 的前一个位置有两种可能：f(n-1) or f(n-2)

所以如果 f(n) 表示走到第 n 个台阶的可能路径，则有 f(n) = f(n-1) + f(n-2)

所以这个题的意思就是，爬上楼梯的所有路径中，路径和最小是多少。

对吧？斐波那契数列。

然后，开始寻找「循环不变式」相关的变量。

爬楼梯最小花费是指爬过所有楼梯，但中间过程都是爬到某一个楼梯，所以过程和结果有不一致性。

这里，我们做一个小小改动：在末尾新增一节楼梯，花费为 0。

解题目标自然变为：爬到最后一节楼梯的最小花费。
中间迭代：爬到第 N 节楼梯的最小花费。

「循环不变式」相关的变量,对第 i 节楼梯:

• 爬到当前楼梯的最小花费 curMin
• 爬到此前楼梯的最小花费 preMin

代码如下：

var minCostClimbingStairs = function(cost) {
  // smart trick
  cost.push(0)

  // initialize loop invariants related variables
  let preMin = curMin = 0
  // initialize next index
  let i = 0
  // iterate to update loop invariants related variables
  while (i < cost.length) {
    // update the preMin and curMin for current index i to ensure loop invariants
    [preMin, curMin] = [curMin, cost[i] + Math.min(preMin, curMin)]
    i++
  }
  // termination: answer is the curMin of index cost.lenght - 1
  console.assert(i == cost.length - 1)
  return curMin
};

携带「循环不变式」的递归版：

var minCostClimbingStairs = function(cost) {
  // smart little trick
  cost.push(0)

  // initialize our two loop invariants related variables: preMin and curMin
  // and the next index: i 
  function loop(i = 0, preMin = 0, curMin = 0) {
    // check if we should terminate our loop
    if (i >= cost.length) return curMin
    // update our two loop invariants related variables, preMin and curMin, for current index i
    return loop(i + 1, curMin, cost[i] + Math.min(preMin, curMin))
  }

  return loop()
}