minimal polynomial을 계산하는 전략

[zhuny]

nested가 없는 경우에는 계산을 해주는데(sqrt{2}+sqrt{3}이나 sqrt{2}+sqrt{3}+sqrt{5}같은거)
sqrt{sqrt{2}+sqrt{3}}같은 것만 되어도 strategy가 적용이 안된다.
좀 general한 방법이 없을까?

[zhuny]

어떤 Polynomial Ring P와, zero dimension의 Ideal I가 주어졌다고 하자.
P의 원소 f가 주어졌을 때, (roughly speaking) 이 f를 I의 원소로 보내는 irreducible, monic polynomial을 minimal polynomial이라고 한다.

이게 field theory의 minimal polynomial ( https://en.wikipedia.org/wiki/Minimal_polynomial_(field_theory) ) 과의 관계가 있다.

sqrt{2}+sqrt{3}으로 예를 들면, 우리가 쉽게 찾을 수 있는 minimal polynomial들이 있다. (base case). 예로, sqrt{2}의 minimal polynomial을 정의로부터 x^2-2라는 것을 바로 알 수 있다. 이제, Q[x, y]라는 Polynomial Ring이 있고, <x^2-2, y^2-3>이라는 ideal이 있다고 하자. x^2-2, y^2-3은 각각 sqrt{2}와 sqrt{3}의 minimal polynomial이다. 이제 우리는 f=x+y를 선택해서 f의 minimal polynomial를 구할 수 있다.

그래서 어떤 radical algebraic number에 대해서 minimal polynomial을 구한다는 건 앞서 언급했던, P, I, f가 주어졌을 때, f의 minimal polynomial을 구하는 문제로 변형할 수 있다.