𝑻𝒉𝒆 𝑯𝒂𝒏𝒅𝒔𝒉𝒂𝒌𝒆 𝑷𝒓𝒐𝒃𝒍𝒆𝒎 𝑰𝒏𝒕𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏:- 𝑻𝒉𝒆 𝒉𝒂𝒏𝒅𝒔𝒉𝒂𝒌𝒆 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒍𝒆𝒎 𝒊𝒔 𝒗𝒆𝒓𝒚 𝒔𝒊𝒎𝒑𝒍𝒆 𝒕𝒐 𝒆𝒙𝒑𝒍𝒂𝒊𝒏. 𝑩𝒂𝒔𝒊𝒄𝒂𝒍𝒍𝒚,𝒊𝒇 𝒚𝒐𝒖 𝒉𝒂𝒗𝒆 𝒂 𝒓𝒐𝒐𝒎 𝒇𝒖𝒍𝒍 𝒐𝒇 𝒑𝒆𝒐𝒑𝒍𝒆, 𝒉𝒐𝒘 𝒎𝒂𝒏𝒚 𝒉𝒂𝒏𝒅𝒔𝒉𝒂𝒌𝒆𝒔 𝒂𝒓𝒆 𝒏𝒆𝒆𝒅𝒆𝒅 𝒇𝒐𝒓 𝒆𝒂𝒄𝒉 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏 𝒕𝒐 𝒉𝒂𝒗𝒆 𝒔𝒉𝒂𝒌𝒆𝒏 𝒆𝒗𝒆𝒓𝒚𝒃𝒐𝒅𝒚 𝒆𝒍𝒔𝒆′𝒔 𝒉𝒂𝒏𝒅 𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕𝒍𝒚 𝒐𝒏𝒄𝒆? 𝑭𝒐𝒓 𝒔𝒎𝒂𝒍𝒍 𝒈𝒓𝒐𝒖𝒑𝒔, 𝒕𝒉𝒆 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒊𝒔 𝒒𝒖𝒊𝒕𝒆 𝒔𝒊𝒎𝒑𝒍𝒆 𝒂𝒏𝒅 𝒄𝒂𝒏 𝒃𝒆 𝒄𝒐𝒖𝒏𝒕𝒆𝒅 𝒇𝒂𝒊𝒓𝒍𝒚 𝒒𝒖𝒊𝒄𝒌𝒍𝒚, 𝒃𝒖𝒕 𝒘𝒉𝒂𝒕 𝒂𝒃𝒐𝒖𝒕 𝟐𝟎 𝒑𝒆𝒐𝒑𝒍𝒆? 𝑶𝒓 𝟓𝟎? 𝑶𝒓 𝟏𝟎𝟎𝟎? 𝑰𝒏 𝒕𝒉𝒊𝒔 𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒍𝒆, 𝒘𝒆 𝒘𝒊𝒍𝒍 𝒍𝒐𝒐𝒌 𝒂𝒕 𝒉𝒐𝒘 𝒕𝒐 𝒘𝒐𝒓𝒌 𝒐𝒖𝒕 𝒕𝒉𝒆 𝒂𝒏𝒔𝒘𝒆𝒓𝒔 𝒕𝒐 𝒕𝒉𝒆𝒔𝒆 𝒒𝒖𝒆𝒔𝒕𝒊𝒐𝒏𝒔 𝒎𝒆𝒕𝒉𝒐𝒅𝒊𝒄𝒂𝒍𝒍𝒚 𝒂𝒏𝒅 𝒄𝒓𝒆𝒂𝒕𝒆 𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂 𝒕𝒉𝒂𝒕 𝒄𝒂𝒏 𝒃𝒆 𝒖𝒔𝒆𝒅 𝒇𝒐𝒓 𝒂𝒏𝒚 𝒏𝒖𝒎𝒃𝒆𝒓 𝒐𝒇 𝒑𝒆𝒐𝒑𝒍𝒆. 𝑺𝒎𝒂𝒍𝒍 𝑮𝒓𝒐𝒖𝒑𝒔 𝑳𝒆𝒕′𝒔 𝒔𝒕𝒂𝒓𝒕 𝒃𝒚 𝒍𝒐𝒐𝒌𝒊𝒏𝒈 𝒂𝒕 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒕𝒊𝒐𝒏𝒔 𝒇𝒐𝒓 𝒔𝒎𝒂𝒍𝒍 𝒈𝒓𝒐𝒖𝒑𝒔 𝒐𝒇 𝒑𝒆𝒐𝒑𝒍𝒆. 𝑻𝒉𝒆 𝒂𝒏𝒔𝒘𝒆𝒓 𝒊𝒔 𝒐𝒃𝒗𝒊𝒐𝒖𝒔 𝒇𝒐𝒓 𝒂 𝒈𝒓𝒐𝒖𝒑 𝒐𝒇 𝟐 𝒑𝒆𝒐𝒑𝒍𝒆: 𝒐𝒏𝒍𝒚 𝟏 𝒉𝒂𝒏𝒅𝒔𝒉𝒂𝒌𝒆 𝒊𝒔 𝒏𝒆𝒆𝒅𝒆𝒅. 𝑭𝒐𝒓 𝒂 𝒈𝒓𝒐𝒖𝒑 𝒐𝒇 𝟑 𝒑𝒆𝒐𝒑𝒍𝒆, 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏 𝟏 𝒘𝒊𝒍𝒍 𝒔𝒉𝒂𝒌𝒆 𝒕𝒉𝒆 𝒉𝒂𝒏𝒅𝒔 𝒐𝒇 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏 𝟐 𝒂𝒏𝒅 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏 𝟑. 𝑻𝒉𝒊𝒔 𝒍𝒆𝒂𝒗𝒆𝒔 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏 𝟐 𝒂𝒏𝒅 𝟑 𝒕𝒐 𝒔𝒉𝒂𝒌𝒆 𝒉𝒂𝒏𝒅𝒔 𝒘𝒊𝒕𝒉 𝒆𝒂𝒄𝒉 𝒐𝒕𝒉𝒆𝒓 𝒇𝒐𝒓 𝒂 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒐𝒇 𝟑 𝒉𝒂𝒏𝒅𝒔𝒉𝒂𝒌𝒆𝒔. 𝑭𝒐𝒓 𝒈𝒓𝒐𝒖𝒑𝒔 𝒍𝒂𝒓𝒈𝒆𝒓 𝒕𝒉𝒂𝒏 𝟑, 𝒘𝒆 𝒘𝒊𝒍𝒍 𝒓𝒆𝒒𝒖𝒊𝒓𝒆 𝒂 𝒎𝒆𝒕𝒉𝒐𝒅𝒊𝒄𝒂𝒍 𝒘𝒂𝒚 𝒐𝒇 𝒄𝒐𝒖𝒏𝒕𝒊𝒏𝒈 𝒕𝒐 𝒆𝒏𝒔𝒖𝒓𝒆 𝒘𝒆 𝒅𝒐𝒏′𝒕 𝒎𝒊𝒔𝒔 𝒐𝒖𝒕 𝒐𝒓 𝒓𝒆𝒑𝒆𝒂𝒕 𝒂𝒏𝒚 𝒉𝒂𝒏𝒅𝒔𝒉𝒂𝒌𝒆𝒔, 𝒃𝒖𝒕 𝒕𝒉𝒆 𝒎𝒂𝒕𝒉 𝒊𝒔 𝒔𝒕𝒊𝒍𝒍 𝒇𝒂𝒊𝒓𝒍𝒚 𝒔𝒊𝒎𝒑𝒍𝒆. 𝑮𝒓𝒐𝒖𝒑𝒔 𝒐𝒇 𝑭𝒐𝒖𝒓 𝑷𝒆𝒐𝒑𝒍𝒆 𝑺𝒖𝒑𝒑𝒐𝒔𝒆 𝒘𝒆 𝒉𝒂𝒗𝒆 𝒇𝒐𝒖𝒓 𝒑𝒆𝒐𝒑𝒍𝒆 𝒊𝒏 𝒂 𝒓𝒐𝒐𝒎, 𝒘𝒉𝒐𝒎 𝒘𝒆 𝒔𝒉𝒂𝒍𝒍 𝒄𝒂𝒍𝒍 𝑨, 𝑩, 𝑪 𝒂𝒏𝒅 𝑫. 𝑾𝒆 𝒄𝒂𝒏 𝒔𝒑𝒍𝒊𝒕 𝒕𝒉𝒊𝒔 𝒊𝒏𝒕𝒐 𝒔𝒆𝒑𝒂𝒓𝒂𝒕𝒆 𝒔𝒕𝒆𝒑𝒔 𝒕𝒐 𝒎𝒂𝒌𝒆 𝒄𝒐𝒖𝒏𝒕𝒊𝒏𝒈 𝒆𝒂𝒔𝒊𝒆𝒓. • 𝑷𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏 𝑨 𝒔𝒉𝒂𝒌𝒆𝒔 𝒉𝒂𝒏𝒅𝒔 𝒘𝒊𝒕𝒉 𝒆𝒂𝒄𝒉 𝒐𝒇 𝒕𝒉𝒆 𝒐𝒕𝒉𝒆𝒓 𝒑𝒆𝒐𝒑𝒍𝒆 𝒊𝒏 𝒕𝒖𝒓𝒏— 𝟑 𝒉𝒂𝒏𝒅𝒔𝒉𝒂𝒌𝒆𝒔. • 𝑷𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏 𝑩 𝒉𝒂𝒔 𝒏𝒐𝒘 𝒔𝒉𝒂𝒌𝒆𝒏 𝒉𝒂𝒏𝒅𝒔 𝒘𝒊𝒕𝒉 𝑨 𝒃𝒖𝒕 𝒔𝒕𝒊𝒍𝒍 𝒏𝒆𝒆𝒅𝒔 𝒕𝒐 𝒔𝒉𝒂𝒌𝒆 𝒉𝒂𝒏𝒅𝒔 𝒘𝒊𝒕𝒉 𝑪 𝒂𝒏𝒅 𝑫— 𝟐 𝒎𝒐𝒓𝒆 𝒉𝒂𝒏𝒅𝒔𝒉𝒂𝒌𝒆𝒔. • 𝑷𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏 𝑪 𝒉𝒂𝒔 𝒏𝒐𝒘 𝒔𝒉𝒂𝒌𝒆𝒏 𝒉𝒂𝒏𝒅𝒔 𝒘𝒊𝒕𝒉 𝑨 𝒂𝒏𝒅 𝑩 𝒃𝒖𝒕 𝒔𝒕𝒊𝒍𝒍 𝒏𝒆𝒆𝒅𝒔 𝒕𝒐 𝒔𝒉𝒂𝒌𝒆 𝑫′𝒔 𝒉𝒂𝒏𝒅— 𝟏 𝒎𝒐𝒓𝒆 𝒉𝒂𝒏𝒅𝒔𝒉𝒂𝒌𝒆. • 𝑷𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏 𝑫 𝒉𝒂𝒔 𝒏𝒐𝒘 𝒔𝒉𝒂𝒌𝒆𝒏 𝒉𝒂𝒏𝒅𝒔 𝒘𝒊𝒕𝒉 𝒆𝒗𝒆𝒓𝒚𝒃𝒐𝒅𝒚. 𝑶𝒖𝒓 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒏𝒖𝒎𝒃𝒆𝒓 𝒐𝒇 𝒉𝒂𝒏𝒅𝒔𝒉𝒂𝒌𝒆𝒔 𝒊𝒔 𝒕𝒉𝒆𝒓𝒆𝒇𝒐𝒓𝒆:𝟑 + 𝟐 + 𝟏 = 𝟔. 𝑳𝒂𝒓𝒈𝒆𝒓 𝑮𝒓𝒐𝒖𝒑𝒔 𝑰𝒇 𝒚𝒐𝒖 𝒍𝒐𝒐𝒌 𝒄𝒍𝒐𝒔𝒆𝒍𝒚 𝒂𝒕 𝒐𝒖𝒓 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒇𝒐𝒓 𝒕𝒉𝒆 𝒈𝒓𝒐𝒖𝒑 𝒐𝒇 𝒇𝒐𝒖𝒓, 𝒚𝒐𝒖 𝒄𝒂𝒏 𝒔𝒆𝒆 𝒂 𝒑𝒂𝒕𝒕𝒆𝒓𝒏 𝒕𝒉𝒂𝒕 𝒘𝒆 𝒄𝒂𝒏 𝒖𝒔𝒆 𝒕𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒆 𝒕𝒐 𝒘𝒐𝒓𝒌 𝒐𝒖𝒕 𝒕𝒉𝒆 𝒏𝒖𝒎𝒃𝒆𝒓 𝒐𝒇 𝒉𝒂𝒏𝒅𝒔𝒉𝒂𝒌𝒆𝒔 𝒏𝒆𝒆𝒅𝒆𝒅 𝒇𝒐𝒓 𝒅𝒊𝒇𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒕 −𝒔𝒊𝒛𝒆𝒅 𝒈𝒓𝒐𝒖𝒑𝒔. 𝑺𝒖𝒑𝒑𝒐𝒔𝒆 𝒘𝒆 𝒉𝒂𝒗𝒆 `𝒏` 𝒑𝒆𝒐𝒑𝒍𝒆 𝒊𝒏 𝒂 𝒓𝒐𝒐𝒎. 𝑻𝒉𝒆 𝒇𝒊𝒓𝒔𝒕 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏 𝒔𝒉𝒂𝒌𝒆𝒔 𝒉𝒂𝒏𝒅𝒔 𝒘𝒊𝒕𝒉 𝒆𝒗𝒆𝒓𝒚𝒃𝒐𝒅𝒚 𝒊𝒏 𝒕𝒉𝒆 𝒓𝒐𝒐𝒎 𝒆𝒙𝒄𝒆𝒑𝒕 𝒇𝒐𝒓 𝒉𝒊𝒎𝒔𝒆𝒍𝒇. 𝑯𝒊𝒔 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒏𝒖𝒎𝒃𝒆𝒓 𝒐𝒇 𝒉𝒂𝒏𝒅𝒔𝒉𝒂𝒌𝒆𝒔 𝒊𝒔, 𝒕𝒉𝒆𝒓𝒆𝒇𝒐𝒓𝒆, 𝒐𝒏𝒆 𝒍𝒐𝒘𝒆𝒓 𝒕𝒉𝒂𝒏 𝒕𝒉𝒆 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒏𝒖𝒎𝒃𝒆𝒓 𝒐𝒇 𝒑𝒆𝒐𝒑𝒍𝒆. 𝑻𝒉𝒆 𝒔𝒆𝒄𝒐𝒏𝒅 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏 𝒉𝒂𝒔 𝒏𝒐𝒘 𝒔𝒉𝒂𝒌𝒆𝒏 𝒉𝒂𝒏𝒅𝒔 𝒘𝒊𝒕𝒉 𝒕𝒉𝒆 𝒇𝒊𝒓𝒔𝒕 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏 𝒃𝒖𝒕 𝒔𝒕𝒊𝒍𝒍 𝒏𝒆𝒆𝒅𝒔 𝒕𝒐 𝒔𝒉𝒂𝒌𝒆 𝒉𝒂𝒏𝒅𝒔 𝒘𝒊𝒕𝒉 𝒆𝒗𝒆𝒓𝒚𝒃𝒐𝒅𝒚 𝒆𝒍𝒔𝒆. 𝑻𝒉𝒆 𝒏𝒖𝒎𝒃𝒆𝒓 𝒐𝒇 𝒑𝒆𝒐𝒑𝒍𝒆 𝒍𝒆𝒇𝒕 𝒊𝒔, 𝒕𝒉𝒆𝒓𝒆𝒇𝒐𝒓𝒆, 𝒕𝒘𝒐 𝒍𝒐𝒘𝒆𝒓 𝒕𝒉𝒂𝒏 𝒕𝒉𝒆 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒏𝒖𝒎𝒃𝒆𝒓 𝒐𝒇 𝒑𝒆𝒐𝒑𝒍𝒆 𝒊𝒏 𝒕𝒉𝒆 𝒓𝒐𝒐𝒎. 𝑻𝒉𝒆 𝒕𝒉𝒊𝒓𝒅 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏 𝒉𝒂𝒔 𝒏𝒐𝒘 𝒔𝒉𝒂𝒌𝒆𝒏 𝒉𝒂𝒏𝒅𝒔 𝒘𝒊𝒕𝒉 𝒕𝒉𝒆 𝒇𝒊𝒓𝒔𝒕 𝒂𝒏𝒅 𝒔𝒆𝒄𝒐𝒏𝒅 𝒑𝒆𝒐𝒑𝒍𝒆. 𝑻𝒉𝒂𝒕 𝒎𝒆𝒂𝒏𝒔 𝒕𝒉𝒆 𝒓𝒆𝒎𝒂𝒊𝒏𝒊𝒏𝒈 𝒏𝒖𝒎𝒃𝒆𝒓 𝒐𝒇 𝒉𝒂𝒏𝒅𝒔𝒉𝒂𝒌𝒆𝒔 𝒇𝒐𝒓 𝒉𝒊𝒎 𝒊𝒔 𝒕𝒉𝒓𝒆𝒆 𝒍𝒐𝒘𝒆𝒓 𝒕𝒉𝒂𝒏 𝒕𝒉𝒆 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒏𝒖𝒎𝒃𝒆𝒓 𝒐𝒇 𝒑𝒆𝒐𝒑𝒍𝒆 𝒊𝒏 𝒕𝒉𝒆 𝒓𝒐𝒐𝒎. 𝑻𝒉𝒊𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒆𝒔 𝒘𝒊𝒕𝒉 𝒆𝒂𝒄𝒉 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏 𝒉𝒂𝒗𝒊𝒏𝒈 𝒐𝒏𝒆 𝒍𝒆𝒔𝒔 𝒉𝒂𝒏𝒅𝒔𝒉𝒂𝒌𝒆 𝒕𝒐 𝒎𝒂𝒌𝒆 𝒖𝒏𝒕𝒊𝒍 𝒘𝒆 𝒈𝒆𝒕 𝒕𝒐 𝒕𝒉𝒆 𝒑𝒆𝒏𝒖𝒍𝒕𝒊𝒎𝒂𝒕𝒆 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏, 𝒘𝒉𝒐 𝒐𝒏𝒍𝒚 𝒉𝒂𝒔 𝒕𝒐 𝒔𝒉𝒂𝒌𝒆 𝒉𝒂𝒏𝒅𝒔 𝒘𝒊𝒕𝒉 𝒕𝒉𝒆 𝒍𝒂𝒔𝒕 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏. 𝑼𝒔𝒊𝒏𝒈 𝒕𝒉𝒊𝒔 𝒍𝒐𝒈𝒊𝒄, 𝒘𝒆 𝒈𝒆𝒕 𝒕𝒉𝒆 𝒏𝒖𝒎𝒃𝒆𝒓𝒔 𝒐𝒇 𝒉𝒂𝒏𝒅𝒔𝒉𝒂𝒌𝒆𝒔 𝒔𝒉𝒐𝒘𝒏 𝒊𝒏 𝒕𝒉𝒆 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒃𝒆𝒍𝒐𝒘. 𝑪𝒓𝒆𝒂𝒕𝒊𝒏𝒈 𝒂 𝑭𝒐𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂 𝒇𝒐𝒓 𝒕𝒉𝒆 𝑯𝒂𝒏𝒅𝒔𝒉𝒂𝒌𝒆 𝑶𝒖𝒓 𝒎𝒆𝒕𝒉𝒐𝒅 𝒔𝒐 𝒇𝒂𝒓 𝒊𝒔 𝒈𝒓𝒆𝒂𝒕 𝒇𝒐𝒓 𝒇𝒂𝒊𝒓𝒍𝒚 𝒔𝒎𝒂𝒍𝒍 𝒈𝒓𝒐𝒖𝒑𝒊𝒏𝒈𝒔, 𝒃𝒖𝒕 𝒊𝒕 𝒘𝒊𝒍𝒍 𝒔𝒕𝒊𝒍𝒍 𝒕𝒂𝒌𝒆 𝒂 𝒘𝒉𝒊𝒍𝒆 𝒇𝒐𝒓 𝒍𝒂𝒓𝒈𝒆𝒓 𝒈𝒓𝒐𝒖𝒑𝒔. 𝑭𝒐𝒓 𝒕𝒉𝒊𝒔 𝒓𝒆𝒂𝒔𝒐𝒏, 𝒘𝒆 𝒘𝒊𝒍𝒍 𝒄𝒓𝒆𝒂𝒕𝒆 𝒂𝒏 𝒂𝒍𝒈𝒆𝒃𝒓𝒂𝒊𝒄 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂 𝒕𝒐 𝒊𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒍𝒚 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒕𝒆 𝒕𝒉𝒆 𝒏𝒖𝒎𝒃𝒆𝒓 𝒐𝒇 𝒉𝒂𝒏𝒅𝒔𝒉𝒂𝒌𝒆𝒔 𝒓𝒆𝒒𝒖𝒊𝒓𝒆𝒅 𝒇𝒐𝒓 𝒂𝒏𝒚 𝒔𝒊𝒛𝒆 𝒈𝒓𝒐𝒖𝒑. 𝑻𝒉𝒆 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒏𝒖𝒎𝒃𝒆𝒓 𝒐𝒇 𝒉𝒂𝒏𝒅𝒔𝒉𝒂𝒌𝒆𝒔 𝒐𝒇 `𝒏` 𝒑𝒆𝒐𝒑𝒍𝒆 = 𝟏 + 𝟐 + ⋯ + (𝒏 − 𝟐) + (𝒏 − 𝟏) + 𝒏 = $\frac{𝒏 × (𝒏 − 𝟏)}{𝟐}$ 𝑳𝒆𝒕𝒔 𝒅𝒐 𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒈𝒓𝒂𝒎 𝒊𝒏 𝒏𝒐𝒏 − 𝒓𝒆𝒄𝒖𝒓𝒔𝒊𝒗𝒆 𝒘𝒂𝒚 𝑳𝒆𝒕𝒔 𝒅𝒐 𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒈𝒓𝒂𝒎 𝒊𝒏 𝒓𝒆𝒄𝒖𝒓𝒔𝒊𝒗𝒆 𝒘𝒂𝒚 𝑷𝒖𝒔𝒉 𝒂𝒏𝒅 𝑷𝒐𝒑 𝒑𝒓𝒐𝒄𝒆𝒔𝒔 𝑨𝒏𝒅 𝒊𝒕 𝒈𝒐𝒆𝒔 𝒊𝒏 𝒕𝒉𝒊𝒔 𝒘𝒂𝒚 . 𝑻𝒊𝒎𝒆 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒙𝒊𝒕𝒚 𝒐𝒇 𝒕𝒉𝒆 𝑷𝒓𝒐𝒈𝒓𝒂𝒎 𝑨𝒔 𝒘𝒆 𝒔𝒆𝒆 𝒕𝒉𝒆 𝒕𝒉𝒆 𝒑𝒓𝒐𝒈𝒓𝒂𝒎 , 𝒕𝒉𝒆 𝒓𝒆𝒕𝒖𝒓𝒏 𝒗𝒂𝒍𝒖𝒆 𝒊𝒔: 𝒓𝒆𝒕𝒖𝒓𝒏 𝒉𝒂𝒏𝒅𝒔𝒉𝒂𝒌𝒆(𝒏 − 𝟏) + (𝒏 − 𝟏); 𝑯𝒆𝒏𝒄𝒆 , 𝒉𝒂𝒏𝒅𝒔𝒉𝒂𝒌𝒆(𝒏 − 𝟏) ⟹ 𝑻(𝒏 − 𝟏) . 𝑨𝒏𝒅 𝒏𝒐𝒘 𝒄𝒐𝒎𝒆 𝒕𝒐 𝒕𝒉𝒆 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝒄𝒂𝒔𝒆: 𝒊. 𝒆. 𝒘𝒉𝒆𝒏 𝟎 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏 𝒐𝒓 𝟏 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏 𝒊𝒏 𝒕𝒉𝒆 𝒓𝒐𝒐𝒎 𝒓𝒆𝒕𝒖𝒓𝒏𝒔 𝟎 𝒉𝒂𝒏𝒅𝒔𝒉𝒂𝒌𝒆𝒔 . 𝑯𝒆𝒏𝒄𝒆 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝒄𝒂𝒔𝒆 𝒂𝒍𝒘𝒂𝒚𝒔 𝒓𝒖𝒏𝒔 𝒐𝒏𝒄𝒆 𝒂𝒇𝒕𝒆𝒓 `𝒏− 𝟏` 𝒕𝒊𝒎𝒆𝒔 𝒓𝒆𝒄𝒖𝒓𝒔𝒊𝒐𝒏 𝒊𝒔 𝒆𝒙𝒆𝒄𝒖𝒕𝒆𝒅 𝒉𝒆𝒏𝒄𝒆, 𝑻(𝒏) = 𝑻(𝒏 − 𝟏) + 𝟏 𝑯𝒆𝒏𝒄𝒆 𝒃𝒚 𝒔𝒖𝒃𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒎𝒆𝒕𝒉𝒐𝒅 𝒘𝒆 𝒈𝒆𝒕: 𝑨𝒍𝒔𝒐 𝒃𝒚 𝑹𝒆𝒄𝒖𝒓𝒓𝒆𝒏𝒄𝒆 𝑻𝒓𝒆𝒆 𝒎𝒆𝒕𝒉𝒐𝒅 𝒘𝒆 𝒈𝒆𝒕: → → 𝑽𝒊𝒗𝒊𝒅𝒍𝒚 𝑫𝒊𝒔𝒄𝒖𝒔𝒔𝒆𝒅 𝑻𝒊𝒎𝒆 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒙𝒊𝒕𝒚 𝒐𝒇 𝑯𝒂𝒏𝒅 𝑺𝒉𝒂𝒌𝒆 𝑷𝒓𝒐𝒃𝒍𝒆𝒎 𝑺𝒑𝒂𝒄𝒆 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒙𝒊𝒕𝒚 𝒐𝒇 𝒕𝒉𝒆 𝑷𝒓𝒐𝒈𝒓𝒂𝒎 𝑻𝒉𝒆 𝒔𝒕𝒂𝒄𝒌 𝒈𝒐𝒘𝒔 𝒔𝒊𝒛𝒆 `𝒏` 𝒘𝒉𝒊𝒍𝒆 𝒑𝒖𝒔𝒉 . 𝑯𝒆𝒏𝒄𝒆 𝒂𝒖𝒙𝒊𝒍𝒊𝒂𝒓𝒚 𝒔𝒑𝒂𝒄𝒆 𝒕𝒂𝒌𝒆𝒏 𝒉𝒆𝒓𝒆 𝒊𝒔 ∶ 𝑶(𝒏). 👉 𝑪++ 𝑷𝒓𝒐𝒈𝒓𝒂𝒎 𝒐𝒏 𝑯𝒂𝒏𝒅 𝑺𝒉𝒂𝒌𝒆 𝑷𝒓𝒐𝒃𝒍𝒆𝒎