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Ensembles de Julia - Collection de fichiers

Une collection des fichiers créés pour le rapport de recherche que nous avons écrit sur les ensembles de Julia.

Python

Génération d'images

En utilisant le module matplotlib.pyplot, on peut afficher un array de pixels colorés selon la fonction julia() définie dans le fichier julia.py. Le module tqdm est importé pour avoir une barre de progression lors de l'exportation d'une image.

Pour les installer avec pip :

python -m pip install -U pip
python -m pip install -U matplotlib
python -m pip install -U tqdm

Les paramètres disponibles à l'utilisateur sont modifiables dans le fichier settings.json (car c'est très pratique de stocker et modifier des données dans un fichier json).

Explication des paramètres

L'image est en résolution de $N \times N$, donc l'utilisateur peut bien sûr modifier le paramètre N.

Une colormap est utilisée pour colorier les pixels. On peut choisir entre la création d'une cmap personalisée à l'aide de la classe ListedColormap de matplotlib, ou utiliser une cmap prédéfinie. Dans les deux cas, celle-ci est segmentée en layers couches, qui seront espacées selon une échelle logarithmique en base layering_factor. Le paramètre cmap dans le fichier JSON ne permet pas de créer une cmap personalisée, mais celle-ci peut être redéfinie dans le fichier Python directement.

Les paramètres qui affectent l'ensemble de Julia directement :

  • iter : le nombre d'itérations $n$ à faire.
  • thresh : le seuil à partir duquel on considère que la valeur approche $+\infty$.
    • Pour une norme de $\lvert z_n \rvert &lt; 0.1$, on considèrera que $z_n$ est bornée. Pour $0.1 < \lvert z_n \rvert < $ thresh, on coloriera selon la cmap, et pour $\lvert z_n \rvert > $ thresh on coloriera en couleur unie.

Les paramètres order et c sont deux paramètres conçus pour les fonctions de la forme $f(z) = z^n + c$, mais l'utilisateur est libre de les utiliser comme bon lui semble.

Par défaut, le fichier affiche des ensembles de Julia pour des fonctions de la forme $f(z) = z^n + c$, mais comme indiqué en commentaire, l'utilisateur peut entrer des fonctions différentes, même à l'aide d'autres modules comme cmath dans l'exemple fourni.

Génération de sons

En utilisant le module scipy.io.wavfile on peut exporter un signal numérique sous format audio WAVE.

Pour installer scipy avec pip :

python -m pip install -U scipy

Pour une fonction méromorphe $f$, on définit la suite $(z_n){n \in \mathbb{N}}$ par récurrence de la façon suivante : $$z{n+1} = f(z_n)$$ On paramétrise une courbe $\gamma : [0,1] \to \mathbb{C}$ et on définit deux ensembles $Z_0$ et $Z$ de la façon suivante : $$Z_0 = \lbrace \gamma(t), \quad \forall t \in [0,1] \rbrace$$ $$Z = \left\lbrace \sup_{\lvert z_n \rvert &lt; s}{z_n}, \quad \forall z_0 \in Z_0 \right\rbrace$$ pour un seuil limite $s \in \mathbb{R}$ choisi.

On définit la fonction $f$ et la courbe $\gamma$ avec f et gamma dans le fichier julia_sound.py. On définit $Z$ par iters, où on entre précisément :

iters = [julia_keep_iter(gamma(i), f, s)[-2] for i in np.arange(0,1,1/16384)]

où s représente le seuil limite $s$ (et 16384 peut être un autre nombre tant qu'il est assez élevé)

On peut ensuite traiter l'ensemble iters comme on veut pour obtenir des signaux différents.

Pour enregistrer une liste xlist contenant un signal (liste de valeurs), on utilise :

x = np.array(xlist)
wavefile.write('nom_de_fichier.wav', fs, x)

où fs est la fréquence d'échantillonage. Il est conseillé de prendre une fréquence d'échantillonage de 44100.

On peut obtenir des résultats intéressants avec cette implémentation, comme l'exemple ci-dessous d'une paramétrisation $\gamma(t) = \frac{\sin(4 \pi t)}{2} + i \sin(2 \pi t)$ sur les ensembles de Julia et Fatou de $f(z) = z^2 + 0.277+0.01i$ :

GeoGebra

Des versions en ligne peuvent être trouvées ici :

GIMP

Le plugin Filtres/Rendu/Fractaliser/Explorateur de fractales permet de générer des ensembles fractals, notamment un ensemble de Julia pour $f(z) = z^2+c$. Grâce au script-fu, c'était possible d'écrire un script en Scheme qui peut exporter des images en masse. Un programme Python peut utiliser la librairie PIL pour compiler ces images dans un GIF.

La librairie PIL peut être installée avec pip :

python -m pip install -U pip
python -m pip install -U Pillow

Ajouter un script sur GIMP

Les images et scripts ont été écrits pour GIMP 2.10.20.

Si vous avez installé GIMP 2.0 et choisi le répertoire d'installation par défaut, rendez-vous dans C:\Program Files\GIMP 2\share\gimp\2.0\scripts. Si vous avez installé GIMP 2.0 dans un autre répertoire, rendez-vous dans ce répertoire puis \share\gimp\2.0\scripts.

Copiez les fichiers julia-incr.scm, julia-zoom.scm, julia-iter.scm, et tout autre script que vous voulez rajouter dedans.

Les scripts Julia

julia-incr.scm

Julia Generator, qui correspond au fichier julia-incr.scm, permet d'exporter des images d'ensembles de Julia pour un nombre d'itérations fixé, et un paramètre $c$ variable, paramétrisé sur un segment dans $\mathcal{C}$.

Les paramètres disponibles sont :

  • n : le nombre d'images
  • NumStart : le nombre par lequel les numérotations des images exportées doivent commncer.
  • Iterations : le nombre d'itérations.
  • CX Start : la partie réelle du $c$ de départ.
  • CY Start : l'opposée de la partie imaginaire du $c$ de départ.
  • CX End : : la partie réelle du $c$ de fin.
  • CY End : l'opposée de la partie imaginaire du $c$ de fin.
    • Attention, choisir (-0.75,-0.25) pour (CX, CY) correspond donc à $c = -0.75 + 0.25i$.
  • Width : la largeur de l'image.
  • Height : la hauteur de l'image.
    • un ratio de 12:9 est recommandé, malgré la proposition de 3:2 proposée par défaut.

julia-iter.scm

Julia Iterator, qui correspond au fichier julia-iter.scm, permet d'exporter des images d'ensembles de Julia pour une constante $c$ fixée, et un nombre d'itérations croissant.

Les paramètres disponibles sont :

  • NumStart : le nombre par lequel les numérotations des images exportées doivent commncer.
  • Iterations Start : le nombre d'itérations par lequel l'animation doit commencer.
  • Iterations End : le nombre d'itérations final de l'animation.
  • CX : la partie réelle du $c$.
  • CY : l'opposée de la partie imaginaire du $c$.
  • Color Variety : le nombre de couches créées lors de la segmentation du dégradé de couleurs actif qui sera appliqué à l'image.
  • Width : la largeur de l'image.
  • Height : la hauteur de l'image.

julia-zoom.scm

Julia Zoom, qui correspond au fichier julia-zoom.scm, permet d'exporter des images d'ensembles de Julia pour une constante $c$ fixée, mais qui zoome sur une partie de l'image en augmentant progressivement le nombre d'itérations. L'image est centrée en un point $a-ib$ lors du zoom.

Les paramètres disponibles sont :

  • NumStart : le nombre par lequel les numérotations des images exportées doivent commncer.
  • n : le nombre d'images à exporter.
  • Max Iterations : le nombre d'itérations maximal à afficher.
  • Re: a : $Re(a+ib) = a$
  • Im: b : $Im(a+ib) = b$
    • Attention ! Le plugin inverse le signe des parties imaginaires, donc il s'agit de l'opposée de la partie imaginaire du nombre sur lequel l'image est centrée.
  • CX : la partie réelle du $c$.
  • CY : l'opposée de la partie imaginaire du $c$.
  • Color Variety : le nombre de couches créées lors de la segmentation du dégradé de couleurs actif qui sera appliqué à l'image.
  • Width : la largeur de l'image.
  • Height : la hauteur de l'image.