Author: Sijin Yu
*本文的举例、图片完全参考了 github 用户 Roy 的博客 [1]. 本文在其基础上增加了数学的形式化表达, 详细了其例, 重画了图片.
[TOC]
识别框架 (Discernment Frame) 指所有可能的基本事件的集合. 例如:
$$
\Theta ={\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_n}
$$
就是一个由
举例参考:
参考 [1] 中的举例, 考虑一个灯, 可能发出 R, G, B 三种颜色的光. 因此这里
$n =3$ , 这三种基本事件为$\theta_1=R$ 表示发红色光,$\theta_2=G$ 表示发绿色的光,$\theta_3=B$ 表示发绿色的光. 则 discernment frame 为$\Theta ={\theta_1, \theta_2, \theta_3} ={R, G, B}$ .
给定 discernment frame
-
空集的 mass 为 0, 即 $$ \mathcal M(\varnothing)=0 $$
-
所有可能的组合的 mass 之和为 1, 即 $$ \sum_{A\sube \Theta}\mathcal M(A)=1 $$
举例参考:
Mass 的意义是各种假设的可能性. 在上面的举例中, 假设一个观察者观测后, 对每个假设分配了 mass 值, 如下:
假设 含义 Mass $\varnothing$ 不发光 0 ${R}$ 发红光 0.35 ${G}$ 发绿光 0.15 ${B}$ 发蓝光 0.25 ${R, G}$ 发红光或绿光 0.05 ${G, B}$ 发绿光或蓝光 0.04 ${B, R}$ 发蓝光或红光 0.06 ${R, G, B}$ 发某一种光 0.1 画成 Venn Diagram 如下:
集合
举例参考:
在上面的例子中, 各种组合的 belief 为:
$Bel(R)=\mathcal M(R) = 0.35$ $Bel(G)=\mathcal M(G) = 0.15$ $Bel(B)=\mathcal M(B)=0.25$ $Bel(RG)=\mathcal M(RG) + \mathcal M(R) + \mathcal M(G)=0.55$ $Bel(GB)=\mathcal M(GB) + \mathcal M(G) + \mathcal M(B)=0.44$ $Bel(BR)=\mathcal M(BR) + \mathcal M(B) + \mathcal M(R)=0.66$ $Bel(RGB)=\mathcal M(RGB)+\mathcal M(RG)+\mathcal M(GB)+\mathcal M(BR) + \mathcal M(R) +\mathcal M(G)+ \mathcal M(B)=1$ 注意, 这里的数学符号不太严谨, 因为函数
$Bel(\cdot),\mathcal M(\cdot)$ 的输入都是集合. 这里的$Bel(R)$ 实际上应该为$Bel ({R})$ ,$\mathcal M(RGB)$ 实际上应该为$\mathcal M({R, G,B})$ , 其余同理. 这里采用这样的写法是为了简洁.
集合
举例参考:
在上面的例子中, 各种组合的 plausibility 为:
$Pls(R)=\mathcal M(R) + \mathcal M(RG)+\mathcal M(BR)+\mathcal M(RGB)=0.56$ $Pls(G)=\mathcal M(G) + \mathcal M(RG)+\mathcal M(GB)+\mathcal M(RGB)=0.34$ $Pls(B)=\mathcal M(B) + \mathcal M(GB)+\mathcal M(BR)+\mathcal M(RGB)=0.45$ $Pls(RG)=\mathcal M(R)+\mathcal M(G)+\mathcal M(GB)+\mathcal M(BR)+\mathcal M(RG)+\mathcal M(RGB)=0.75$ $Pls(GB)=\mathcal M(G)+\mathcal M(B)+\mathcal M(GB)+\mathcal M(BR)+\mathcal M(RG)+\mathcal M(RGB)=0.65$ $Pls(BR)=\mathcal M(B)+\mathcal M(R)+\mathcal M(GB)+\mathcal M(BR)+\mathcal M(RG)+\mathcal M(RGB)=0.85$ $Pls(RGB)=\mathcal M(R)+\mathcal M(G)+\mathcal M(B)+\mathcal M(GB)+\mathcal M(BR)+\mathcal M(RG)+\mathcal M(RGB)=1$ 注意, 这里的数学符号不太严谨, 因为函数
$Pls(\cdot),\mathcal M(\cdot)$ 的输入都是集合. 这里的$Pls(R)$ 实际上应该为$Pls ({R})$ ,$\mathcal M(RGB)$ 实际上应该为$\mathcal M({R, G,B})$ , 其余同理. 这里采用这样的写法是为了简洁.
给定 discernment frame
-
归一性, 即: $$ \sum_{\theta\in\Theta}\mathcal P(\theta)=1 $$
-
可加性, 即: $$ \mathcal P\left(\bigcup_{i}\theta_i\right)=\sum_{i}\mathcal P(\theta_i) $$
注意, 可加性的成立条件是
$\theta_{i_1},\theta_{i_2},\cdots,\theta_{i_m}$ 为两两互斥的. 而这正是 discernment frame$\Theta$ 的定义给出的, 因此可加性自然成立.即然
$\theta_{i_1},\theta_{i_2},\cdots,\theta_{i_m} (m\geq 2)$ 是两两互斥的, 因此下面的式子总成立: $$ \mathcal P\left(\bigcap_{i}\theta_i\right)=0 $$ 为了与我们上面使用$RGB$ 表示${R, G, B}$ 的符号保持一致性, 我们这里使用符号$\mathcal P(RGB):=\mathcal P(R\cup G\cup B)$ , 这与传统的$\mathcal P(RGB)$ 表示$\mathcal P(R\cap G\cap B)$ 不同 (后者在我们的例子中总是为 0, 没什么意思). 在这样的表述下,$\mathcal P (RG)$ 表示“该灯发红光或者发绿光”的概率测度, 其余的符号同理.
这里需要区分概率测度
$\mathcal P$ 和前面定义的质量函数$\mathcal M$ 的区别.
$\mathcal P$ 的定义域是$\Theta$ , 即我们所理解的“概率”含义.$\mathcal M$ 的定义域是$2^\Theta$ , 它衡量了观测者对各种可能性判断的确定性 (这一解释在下文会再次说明).
任意一个子集
使用主观逻辑 (Subjective Logic), 可以通过先验概率, 计算后验概率. 具体的, 若定义了 discernment frame
举例参考:
在上面的 RGB 灯例子中, 若给出先验概率分布如下:
$q(R)$ $q(G)$ $q(B)$ 0.5 0.3 0.2 在上面 mass 分配的情况下, 可得修正的后验分布为:
$p(R)$ $p(G)$ $p(B)$ 0.474 0.223 0.303 在上面的例子可见, mass 的数学意义是衡量不确定性,
$\mathcal M (A)$ 即为分配给子集$A$ 的证据 (Evidence).
假设有两个观察者, 它们观测的 mass function 分别为
冲突度衡量了
$\mathcal M_1$ 和$\mathcal M_2$ 的不一致性.
$\gamma\in[0,1]$ 总是成立.- 若
$\gamma=0$ , 表示两个证据源完全一致.- 若
$\gamma=1$ , 表示两个证据源完全冲突.
两个证据源的 mass function
令 discernment frame
对于第
令可学习参数
使用
这种融合, 对多模态中存在某一模态可靠度不高, 但难以确定哪一模态可靠度不高, 需要模型自己学习每一模态的可靠度的情况, 有很大的促进意义. 此外, 这里的“多模态”也可以推广为“多分类器”、“多尺度”.
[1] https://cf020031308.github.io/wiki/dempster-shafer-theory-and-subjective-logic/
[2] Shafer, G.: A mathematical theory of evidence, vol. 42. Princeton University Press (1976)