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Letra B

Para encontrar uma função diferencial que represente o sistema, antes precisamos isolar a saída y(s) e efetuar a transformada inversa para encontrar seu valor no tempo;

Sendo a

$$ H(s) = { y(s) \over x(s) } $$

em s, podemos afirmar que

$$ y(s) = { H(s) * x(s) } $$

assim,

$$ y(t) = Laplace^-1 ( y(s) ) $$

Tendo a função de transfêrencia descrita como

$$ H(s) = {s^2 + 1 \over s^3 - 1/4*s} $$

Achamos as raízes (0, +1/2, -1/2) do denominador para fatorá-lo, e facilitar sua transformada (transformada da soma é a soma das transformadas) e remodelamos o saída para

$$ y(s) = { A/s + B/(s+1/2) + C/(s-1/2) } $$

Aplicando cada uns dos limites de cada polo (raiz) achamos que

$$ A = -4 $$

$$ B = 5/2 $$

$$ C = 5/2 $$

Aplicamos algumas transformadas já conhecidas

Laplace^-1

$$ 1/s = t $$

Laplace^-1

$$ e^at = { 1 \over s-a } $$

Temos então que y(t) será soma de todas as transformadas

$$ y(t) = { (-4t) + (5/2 * e^t/2) + (5/2 * e-t/2) } $$

Aplicando na entrada uma função conhecida como o degrau

$$ u(t) = 1 $$

Temos então que

$$ y(t) = -4t *1 + (5/2 * e^+t/2)*1 + (5/2 * e^-t/2)*1 $$

Degrau

$$ h = { y \over x } $$