Algoritmo popolare per adattare una curva dei rendimenti a dati osservati.
I dati sui rendimenti dei titoli di stato sono normalmente disponibili solo per paio di scadenze, mentre l'utente è di solito interessato in più rendimenti.
Una soluzione popolare è di utilizzare un algoritmo per trovare una funzione che si adatta ai punti dati esistenti. In questo modo, la funzione può essere utilizzata per interpolare/estrappolare qualsiasi altro punto. Il modello Nelson-Siegel-Svensson è un algoritmo di adattamento di curve abbastanza flessibile da approssimare la maggior parte delle applicazioni reali.
Il Nelson-Siegel-Svensson estende il metodo Nelson-Siegel a 4 parametri a 6 parametri. Svensson ha introdotto due parametri aggiuntivi per adattarsi meglio alla varietà di forme dei tassi forward istantanei o delle curve dei rendimenti osservate nella pratica.
Vantaggi:
- Produce una curva dei tassi forward scorrevole e ben comportata.
- Interpretazione intuitivadei parametri.
beta0è il tasso di interesse a lungo termine ebeta0+beta1è il tasso a breve termine istantaneo.
Per trovare il valore ottimale dei parametri, viene utilizzato l'algoritmo del simplesso Nelder-Mead (già implementato nel pacchetto scipy). Il link all'algoritmo di ottimizzazione è Gao, F. and Han, L. Implementing the Nelder-Mead simplex algorithm with adaptive parameters. 2012. Computational Optimization and Applications. 51:1, pp. 259-277.
La formula per la curva dei rendimenti (valore del rendimento per una scadenza al tempo 't') è data dalla formula:
+
+
+
- Tassi di rendimento osservati
YieldVec. - Scadenza di ciascun rendimento osservato
TimeVec. - Stima iniziale dei parametri
beta0,beta1,beta2,beta3,labda0, andlambda1. - Scadenze target
TimeResultVec.
- Tassi di rendimento calcolati per le scadenze di interesse
TimeResultVec.
L'utente è interessato al rendimento previsto per i titoli di stato con scadenze di 1, 2, 5, 10, 25, 30 e 31 anni. Ha dati sui titoli di stato con scadenza di 1, 2, 5, 10 e 25 anni. Il rendimento calcolato per quei titoli è del 0,39%, 0,61%, 1,66%, 2,58% e 3,32%.
from nelsonsiegelsvensson import *
import numpy as np
TimeVec = np.array([1, 2, 5, 10, 25])
YieldVec = np.array([0.0039, 0.0061, 0.0166, 0.0258, 0.0332])
beta0 = 0.1 # stima iniziale
beta1 = 0.1 # stima iniziale
beta2 = 0.1 # stima iniziale
beta3 = 0.1 # stima iniziale
lambda0 = 1 # stima iniziale
lambda1 = 1 # stima iniziale
TimeResultVec = np.array([1, 2, 5, 10, 25, 30, 31]) # Scadenze per i rendimenti di interesse
## Implementazione
OptiParam = NSSMinimize(beta0, beta1, beta2, beta3, lambda0, lambda1, TimeVec, YieldVec) # Viene utilizzato l'algoritmo del simplesso Nelder-Mead per trovare i parametri che producono una curva con i minimi residui rispetto ai dati di mercato.
# Stampare la curva dei rendimenti con i parametri ottimali per confrontarla con i dati forniti
print(NelsonSiegelSvansson(TimeResultVec, OptiParam[0], OptiParam[1], OptiParam[2], OptiParam[3], OptiParam[4], OptiParam[5]))