МАТРИЧНАЯ БИБЛИОТЕКА

Библиотека С++ для работы с матрицами

Возможности библиотеки

Данная библиотека включает в себя представленные функции

Детерминант квадратной матрицы любого размера
Адъюгированние и транспонирование матрицы
Решение СЛАУ методом Крамера
Нахождение обратной матрицы
Матрица миноров
Подматрицы
След

Использование библиотеки

Все библиотечные функции, классы и константы определены в пространстве имен simple, оно может быть импортировано через

using namespace simple;

Установка вспомогательных средств создания документации

Для генерации документации в данном проекте используется утилита под названием - Doxygen - которую можно скачать с официального сайта или с репозитория GitHub и скомпилировать самым удобным для Вас способом.

Doxygen — это кроссплатформенная система документирования исходных текстов, которая поддерживает C++, Си, Objective-C, Python, Java, IDL, PHP, C#, Фортран, VHDL и, частично, D.

Во время документирования, Doxygen, генерирует граф связей класса, делая это не лучшим образом, создавая изображения в формате png, которое плохо маштабируется и ужасно выглядит на больших экранах.

Для улучшения качества изображений, c официального сайта Graphviz можно установить пакет утилит для автоматической визуализации графов, в который входит инструмент под названием - DOT, который в свою очередь использует Doxygen.

Graphviz — это программное обеспечение для визуализации графиков с открытым исходным кодом. Визуализация графов - это способ представления структурной информации в виде диаграмм абстрактных графов и сетей.

После установки данного пакета, требуется добавить путь к бинарным файлам в Переменные среды вашего ПК, для этого:

Нажмите сочетание клавиш Win + S
Наберите в поисковой строке Изменение системных переменных среды
Нажмите на Переменные среды
Выберите переменную с навзание Path и нажмите Изменить
После чего допишите в конец абсолютный путь подкатолога bin только что установленного пакета

Теперь Doxygen будет пользоваться утилитой DOT и генерировать изображения в формате svg.

Создание вектора

Чтобы создать целочисленный вектор, заполненный нулями, рамером _count

vector<int> _vec(_count);

Создание матрицы

Мы можем создать матрицу размером _rows на _cols, заполненную нулями

matrix<int> _mtx(_rows, _cols);

Вывод матрицы на консоль

Объект матрицы может быть просто выведен в любой выходной поток

matrix<int> _mtx = {
    { 5, 4, 3 },
    { 1, 2, 3 },
    { 6, 4, 5 } };
std::cout << _mtx << std::endl;

┌─         ─┐
│  5  4  3  │
│  1  2  3  │
│  6  4  5  │
└─         ─┘

Сложение и вычитание

Мы можем сложить или вычесть 2 матрицы строго одинакового размера

matrix<int> A = {
    { 5, 4, 3 },
    { 1, 2, 3 },
    { 6, 4, 5 } };
matrix<int> B = {
    { 3, 8, 8 },
    { 1, 7, 3 },
    { 4, 3, 6 } };

Любым из представленных способов:

matrix<int> C = A + B;

A += B;

Аналогично matrix<int> C = A - B или A -= B

Скалярное произведение

Мы можем умножить все элементы матрицы на одну и ту же константу

matrix<int> A = {
    { 5, 4, 3 },
    { 1, 2, 3 },
    { 6, 4, 5 } };
double c = 5;

Одним из нижеперечисленных способов:

matrix<int> B = A * c;

matrix<int> B = c * A;

A *= c;

Матричное умножение

Если количество столбцов матрицы A равно количеству строк матрицы B, то мы можем произвести вычисление A * B ( (R, E) * (E, C) = (R, C) )

Для функции assert нужно подключить следующую библиотеку

#include <cassert>

matrix<int> A, B;

assert(A.size_collumns() == B.size_rows()); ///< LINE 18

matrix<int> C = A * B;                      ///< LINE 20

A *= B;                                     ///< LINE 20

Если перемножение невозможно, то на 18 строке возникнет исключение и программа прекратит своё выполнение, при этом оповестив пользователя следующим сообщением

File: main.cpp, Line 18

Expression: A.size_collumns() == B.size_rows()

Получение и установка элемента

Доступ к отдельным элементам можно получить при помощи setter/getter функций. Предположим, что у нас есть следующая матрица

matrix<int> _mtx = {
    { 5, 4, 3 },
    { 1, 2, 3 },
    { 6, 4, 5 } };

Мы можем получить любой элемент матрицы, просто указав его позицию в квадратных скобках

int _elem = _mtx[0][0];

{ 5, 4, 3 } { 1, 2, 3 } { 6, 4, 5 }

int _elem = _mtx[0][2];

{ 5, 4, 3 } { 1, 2, 3 } { 6, 4, 5 }

int _elem = _mtx[2][2];

{ 5, 4, 3 } { 1, 2, 3 } { 6, 4, 5 }

Также мы можем установить любое значение в любую из позиций матрицы

_mtx[0][0] = 9;

{ 9, 4, 3 } { 1, 2, 3 } { 6, 4, 5 }

Получение и установка строк и столбцов

Мы можем получить и установить отдельные строки и столбцы аналогично элементам.

Предположим, что у нас есть следующая матрица:

matrix<int> _mtx = {
    { 1, 2, 3, 4 },
    { 2, 2, 2, 4 },
    { 4, 5, 6, 4 },
    { 7, 8, 9, 4 } };

┌─            ─┐
│  4  2  3  4  │
│  4  2  2  4  │
│  4  5  6  4  │
│  4  8  9  4  │
└─            ─┘

Тогда мы можем получить любую строку этой матрицы, просто обратившись к функции get_row и передав в неё индекс нужной строки

vector<int> _vec = _mtx.get_row(1);

┌─            ─┐
│  2  2  2  4  │
└─            ─┘

Если мы хотим получить j-й столбец матрицы, то следует обратиться к функции get_collumn

vector<int> _vec = _mtx.get_collumn(3);

┌─            ─┐
│  4  4  4  4  │
└─            ─┘

Аналогичным образом можно установить строку или столбец, обратившись к функциям set_row/set_collumn, и в качестве второго аргумента передать вектор

В качестве примера установим, ранее полученный вектор, но только на другую позицию

_mtx.set_collumn(0, _vec);

Тогда начальная матрица А приобретёт следующий вид

┌─            ─┐
│  4  2  3  4  │
│  4  2  2  4  │
│  4  5  6  4  │
│  4  8  9  4  │
└─            ─┘

Детерминант

В линейной алгебре определи́тель (или детермина́нт) — это скалярная величина, которая обозначает ориентированное «растяжение» или «сжатие» многомерного евклидового пространства после преобразования матрицей

Детерминант имеет смысл только для квадратных матриц

Мы можем просто и эффективно вычислить определитель матрицы обратившись к функции determinant. Так же мы можем проверить является ли матрица квадратной при помощи функции is_square, которая возратит значение TRUE в случае успеха

matrix<int> _mtx;

assert(_mtx.is_square());       ///< LINE 3
auto _det = _mtx.determinant();

Если матрица окажется не квадратной, то пользователя оповестят следующим предупреждением

File: main.cpp, Line 3

Expression: _mtx.is_square()

Подробнее о вычислении детерминанта можно узнать здесь

Транспонирование

Транспонирование — в линейной алгебре это операция над матрицами в результате которой матрица поворачивается относительно своей главной диагонали

Мы можем транспонировать матрицу обратившись к функции transpose

matrix<int> _mtx = {
    { 5, 4, 3 },
    { 1, 2, 6 } };

matrix<int> _mtxT = _mtx.transpose()

std::cout << _mtx  << std::endl;
std::cout << _mtxT << std::endl;

┌─         ─┐
│  5  4  3  │
│  1  2  6  │
└─         ─┘
┌─      ─┐
│  5  1  │
│  4  2  │
│  3  6  │
└─      ─┘

Обратная матрица

Обратная матрица — такая матрица, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E

Мы просто можем обратиться к функции invert, чтобы получить обратную матрицу

matrix<int> _mtx = {
    { 1, 9, 2 },
    { 8, 3, 7 },
    { 4, 6, 5 } };

std::cout << _mtx          << std::endl;
std::cout << _mtx.invert() << std::endl;

matrix<int> _mtxE = _mtx * _mtx.invert();

std::cout << _mtxE << std::endl;

┌─         ─┐
│  1  9  2  │
│  8  3  7  │
│  4  6  5  │
└─         ─┘
┌─                                 ─┐
│   0.428571   0.52381   -0.904762  │
│   0.190476   0.047619  -0.142857  │
│  -0.571429   -0.47619   1.09524   │
└─                                 ─┘
┌─         ─┐
│  1  0  0  │
│  0  1  0  │
│  0  0  1  │
└─         ─┘

Имейте в виду, что матрицу можно инвертировать только в том случае, если она квадратная и если определитель матрицы не равен нулю. Если матрица не квадратная, будет выдано исключение типа exception::TYPE::NOT_SQUARE. Если определитель равен нулю, будет выдано исключение типа exception::TYPE::NOT_INVERTIBLE

Подробнее о вычислении обратной матрицы можно узнать здесь

Адъюгированная матрица

Адъюгированная матрица из А является транспонированным из кофактора матрицы C из A

Такую матрицу мы можем получить вызвав функцию adj

matrix<int> _mtx;

matrix<int> _mtx_adj = _mtx.adj();

Подробнее о вычислении адъюгированной матрицы можно узнать здесь

Подматрицы

Подматрица, также известна как матрица удаления, представляет собой матрицу, которая создается путем удаления строк и столбцов исходной матрицы

Если матрица была размером M * N, то её подматрица будет размерами (M - 1) * (N - 1)

Предположим, что у нас есть следующая матрица:

    ┌─            ─┐
0 > │  3  2  5  4  │
1 > │  2  3  8  7  │
2 > │  4  2  6  1  │
3 > │  5  1  9  6  │
    └─            ─┘
       ^  ^  ^  ^
       0  1  2  3

Тогда следующий вызов -

std::cout << A.submatrix(1, 2) << std::endl;

Повлекет за собой вывод данной подматрицы:

┌─         ─┐
│  3  2  4  │
│  4  2  1  │
│  5  1  6  │
└─         ─┘

Кофакторная матрица

Матрица, образованная всеми кофакторами квадратной матрицы A, называется кофакторной матрицей (также называемой матрицей кофакторов)

Предположим, что у нас есть следующая матрица:

┌─            ─┐
│   1   4   7  │
│   3   0   5  │
│  -1   9  11  │
└─            ─┘

Мы можем найти любой кофактор матрицы, просто вызвав функцию cofactor и передав в неё позицию элемента

std::cout << _mtx.cofactor(1, 2) << std::endl;

-13

Но так же мы можем найти всю матрицу кофакторов, просто вызвав функцию cofactor_matrix

std::cout << _mtx.cofactor_matrix() << std::endl;

┌─               ─┐
│  -45  -38   27  │
│   19   18  -13  │
│   20   16  -12  │
└─               ─┘

Подробнее о вычислении кофактора и кофакторной матрицы можно узнать здесь

Полезные ссылки

Макросы препроцессора

ISTECTION/simple_matrix

МАТРИЧНАЯ БИБЛИОТЕКА

Возможности библиотеки

Использование библиотеки

Установка вспомогательных средств создания документации

Создание вектора

Создание матрицы

Вывод матрицы на консоль

Сложение и вычитание

Скалярное произведение

Матричное умножение

Получение и установка элемента

Получение и установка строк и столбцов

Детерминант

Транспонирование

Обратная матрица

Адъюгированная матрица

Подматрицы

Кофакторная матрица

Полезные ссылки