/brusselator-bvp

Boundary value problem for brusselator. Time independent solution.

Primary LanguageJupyter Notebook

brusselator-bvp

Boundary value problem for brusselator. Time independent solution.

image

Список литературы:

[1] КОСАРЕВ В. И. 12 лекций по вычислительной математике (вводный курс). - Изд. 3-е, испр. и доп. - М.: Физматкнига, 2013. - 240 с. ISBN 978-5-89155-214-2

[2] Типовые задачи заданий по вычислительной математике. VI семестр, ОДУ. Решения, указания, ответы : учебно-метод. пособие / сост. Р. С. Пастушков. – М. : МФТИ, 2015. – 48 с

[3] Численные методы, Книга 2, Методы математической физики, Калиткин Н.Н., Корякин П.В., 2013.

Решение задачи:

Строится разностная аппроксимацию задачи и граничных условий второго порядка. См. подробности в книге [1], наглядные примеры решения задач[2].

После аппроксимации граничных условий получаем следующую СЛАУ для сеточной функции $u$. Аналогичная системы с соответствующими функциями возникает и для $v$

$$ \large \begin{cases} \frac{u_{1} - u_{0}}{h} = 0 - \frac{h}{2}\frac{1}{D_u}f(u_{0}, v_{0})\\ \frac{u_{k+1} - 2u_{k} + u_{k-1}}{h^2} + \frac{1}{D_u}f(u_{k}, v_{k}) = 0,& k = 1, N-1\\ \frac{u_{N-1} - u_{N}}{h} = 0 - \frac{h}{2}\frac{1}{D_u}f(u_{N}, v_{N}) \end{cases} $$

Система нелинейных уравнений решается методом ньютоновских итераций. Общие принципы см. [1], тонкости реализациии есть в книге [3].

Критерий останова: превышение числа шагов n_max=40

Для компоненты $u(x)$ строятся графики для различной мелкости разбиения расчетной области. Мелкость увеличивается в два раза. Это позволит применить метод Ричардсона оценки погрешности.

Обсуждение задачи:

В этой задаче не получилось применить метод матричной прогонки. Решение и без того получается перегруженным технически.

Возникающая блочная трехдиагноальная матрица плохо обусловлена: cond > 10 000

У уравнения есть гарантированно два состояния, не только не зависящих от времени, но также и от координаты $x$. Они находятся как решения системы. Далее они отмечены красными точками на фазовой диаграмме.

$$\large \begin{cases} f(\hat u, \hat v) = 0\\ g(\hat u, \hat v) = 0\\ \end{cases}$$