`學號`

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請依照以下指引編寫完整的 markdown 文件，並確保所有標題及格式符合要求。

請將標題的 學號 換成全數字的學號。如：

# 41143263

報告內容...

Caution

作業使用 GitHub Action 做 CI 檢查。
你的作業裡面也要包含 .github/ 和底下的所有檔案。
作業截止前 GitHub Action 沒通過，請根據規格更新你的作業報告。
作業截止後 GitHub Action 沒通過，作業等於沒交。

解題說明

需撰寫解題思路與分析。

問題描述：清楚陳述題目背景與要求。
解題策略：提供您的規劃步驟，例如使用演算法或資料結構。

範例：

## 解題說明

本題要求實現一個遞迴函式，計算從 $1$ 到 $n$ 的連加總和。

### 解題策略

1. 使用遞迴函式將問題拆解為更小的子問題：
   $$\Sigma(n) = n + \Sigma(n-1)$$
2. 當 $n \leq 1$ 時，返回 $n$ 作為遞迴的結束條件。  
3. 主程式呼叫遞迴函式，並輸出計算結果。

程式實作

Caution

IDE 使用者請把程式碼自行貼在報告裡。

範例：

## 程式實作

以下為主要程式碼：

```cpp
#include <iostream>
using namespace std;

int sigma(int n) {
    if (n < 0)
        throw "n < 0";
    else if (n <= 1)
        return n;
    return n + sigma(n - 1);
}

int main() {
    int result = sigma(3);
    cout << result << '\n';
}
```

效能分析

針對程式碼的效能進行分析（Big-O 分析），並以條列式說明：

時間複雜度。
空間複雜度。

Note

通用格式：$O(1)$、$O(\log n)$、$O(n)$、$O(n^2)$、$O(2^n)$。
可以寫通用格式或是寫 $O(100\times \log n + \pi)$ 也可以。
$\LaTeX$ 語法範例： $O(\log n)$ 。

範例：

## 效能分析

1. 時間複雜度：程式的時間複雜度為 $O(\log n)$。
2. 空間複雜度：空間複雜度為 $O(100\times \log n + \pi)$。

測試與驗證

測試案例設計。
執行結果。
驗證結果。

Important

非 IDE 使用者「執行結果」需含編譯指令、編譯參數以及輸出，如下列表示：

$ g++ main.c --std=c++21 -o main.exe
$ .\main.exe
hello world!

$ 代表使用者在 shell 中的輸入。

第一個 $ 是編譯指令
第二個 $ 是執行指令
最後沒有 $ 的 hello world 代表程式輸出。

只要像這樣寫就能清楚表達，哪個是使用者輸入與程式輸出。

### 測試案例

| 測試案例 | 輸入參數 $n$ | 預期輸出 | 實際輸出 |
|----------|--------------|----------|----------|
| 測試一   | $n = 0$      | 0        | 0        |
| 測試二   | $n = 1$      | 1        | 1        |
| 測試三   | $n = 3$      | 6        | 6        |
| 測試四   | $n = 5$      | 15       | 15       |
| 測試五   | $n = -1$     | 異常拋出 | 異常拋出 |

### 編譯與執行指令

```shell
$ g++ -std=c++17 -o sigma sigma.cpp
$ ./sigma
6
```

### 結論

1. 程式能正確計算 $n$ 到 $1$ 的連加總和。  
2. 在 $n < 0$ 的情況下，程式會成功拋出異常，符合設計預期。  
3. 測試案例涵蓋了多種邊界情況（$n = 0$、$n = 1$、$n > 1$、$n < 0$），驗證程式的正確性。

申論及開發報告

使用這個結構、演算法的理念。

範例：

## 申論及開發報告

### 選擇遞迴的原因

在本程式中，使用遞迴來計算連加總和的主要原因如下：

1. **程式邏輯簡單直觀**  
   遞迴的寫法能夠清楚表達「將問題拆解為更小的子問題」的核心概念。  
   例如，計算 $\Sigma(n)$ 的過程可分解為：  

   $$
   \Sigma(n) = n + \Sigma(n-1)
   $$

   當 $n$ 等於 1 或 0 時，直接返回結果，結束遞迴。

2. **易於理解與實現**  
   遞迴的程式碼更接近數學公式的表示方式，特別適合新手學習遞迴的基本概念。  
   以本程式為例：  

   ```cpp
   int sigma(int n) {
       if (n < 0)
           throw "n < 0";
       else if (n <= 1)
           return n;
       return n + sigma(n - 1);
   }
   ```

3. **遞迴的語意清楚**  
   在程式中，每次遞迴呼叫都代表一個「子問題的解」，而最終遞迴的返回結果會逐層相加，完成整體問題的求解。  
   這種設計簡化了邏輯，不需要額外變數來維護中間狀態。

透過遞迴實作 Sigma 計算，程式邏輯簡單且易於理解，特別適合展示遞迴的核心**。然而，遞迴會因堆疊深度受到限制，當 $n$ 值過大時，應考慮使用迭代版本來避免 Stack Overflow 問題。