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$$ f(x) = \frac{100^x}{100^x + 10} $$
Determine el valor de la siguiente expresión:
$$ f\left(\frac{1}{2022}\right) + f\left(\frac{2}{2022}\right) + f\left(\frac{3}{2022}\right) + \ldots + f\left(\frac{2021}{2022}\right) $$
Para resolver este problema, primero notamos lo siguiente:
$$ f(1 - x) = \frac{100^{1 - x}}{100^{1 - x} + 10} = \frac{\frac{100}{100^x}}{\frac{100}{100^x} + 10} = \frac{100}{100 + 10 \cdot 100^x} = \frac{100}{10\left(10 + 100^x\right)} = \frac{10}{100^x + 10} $$
Y además, notamos que
$$ f(x) + f(1 - x) = \frac{100^x}{100^x + 10} + \frac{10}{100^x + 10} = 1 $$
Por lo que expresemos la suma de la siguiente forma:
$$ f\left(\frac{1}{2022}\right) + \ldots + f\left(\frac{1010}{2022}\right) + f\left(\frac{1011}{2022}\right) + f\left(1 - \frac{1010}{2022}\right) + \ldots + f\left(1 - \frac{1}{2022}\right) $$
Y agrupamos los términos de la siguiente forma:
$$ \left(f\left(\frac{1}{2022}\right) + f\left(1 - \frac{1}{2022}\right)\right) + \ldots + \left(f\left(\frac{1010}{2022}\right) + f\left(1 - \frac{1010}{2022}\right)\right) + f\left(\frac{1011}{2022}\right) $$
Notemos que esto equivale a
$$ \sum_{k = 1}^{1010} 1 + f\left(\frac{1011}{2022}\right) = 1010 + f\left(\frac{1}{2}\right) = 1010 + \frac{100^{1/2}}{100^{1/2} + 10} = 1010 + \frac{10}{10 + 10} = 1010 + \frac{10}{20} = 1010 + \frac{1}{2} = 1010.5 $$
Por lo que la respuesta es
$$ \boxed{1010.5} $$