Laboratory work in Numerical Methods 5 semester
k | k+1 | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
* | * | * | * | ||||||||
* | * | * | * | * | |||||||
* | * | * | * | * | |||||||
* | * | * | * | * | |||||||
* | * | * | * | ||||||||
* | * | * | |||||||||
* | * | * | |||||||||
* | * | * | * | ||||||||
* | * | * | * | * | |||||||
* | * | * | * | * | |||||||
* | * | * | * | * | |||||||
* | * | * | * |
В задании № 1 предполагается разобрать метод решения системы уравнений с матрицей специального вида.
Портреты матриц систем во всех 11 вариантах задания различны и определяются номером варианта. Однако по структуре они похожи – имеют по три диагонали и «испорчены» либо двумя столбцами, либо двумя строками, либо одним столбцом и одной строкой. В настоящем пособии подробно разобран пример решения подобной системы, причем более сложной.
Во всех вариантах исходные системы уравнений задаются шестью векторами: a, b, c, f, p, q. Векторы a, b, c содержат значения трех диагоналей матрицы, f – вектор правой части системы, p, q – векторы для строк или столбцов, которые «портят» матрицы системы.
В отчете о выполнении задания должны содержаться следующие пункты:
- Постановка задачи, в том числе запись системы, аналогичная (1), и символическое изображение исходной матрицы.
- Метод решения – символическое изображение алгоритма решения, подобное рис. 1; все вычислительные формулы; число операций прямого и обратного хода метода.
- Основные процедуры – описание входных и выходных параметров, назначение процедуры. Среди основных процедур должна быть процедура решения системы уравнений специального вида с входными параметрами n (размерность системы), a, b, c, f, p, q (векторы, задающие систему уравнений) и выходными параметрами x (решение), код завершения, оценка точности решения.
- Результаты тестирования в виде таблицы.
№ теста | Размерность системы | Диапазон значений элементов матрицы | Средняя относительная погрешность системы | Среднее значение оценки точности |
---|---|---|---|---|
1 | ... | ... | ... | ... |
Метод Халецкого для решения СЛАУ с симметричными ленточными матрицами. Входные параметры основной процедуры:
- N, L – размерность системы и половина ширины ленты матрицы;
- А – массив размерности, N × L содержащий нижнюю часть ленты матрицы исходной системы уравнений;
- f – вектор правой части системы размерности N.
Выходные параметры основной процедуры:
- IER – код завершения;
- x – вектор решения размерности N.
Как и в задании № 1, содержание индивидуальных заданий зависит от номера варианта. В каждом варианте предполагается реализовать тот или иной, или два метода решения систем линейных уравнений, а затем провести вычислительный эксперимент. Отчет о выполнении задания должен содержать следующие пункты:
- Постановка задачи.
- Метод решения (формулы, алгоритмы, число операций).
- Основные процедуры – описание входных и выходных параметров, назначение процедуры. Среди основных процедур должна быть процедура решения системы уравнений, имеющая в числе выходных параметров код завершения и оценку точности.
- Результаты вычислительных экспериментов (набор обязательных вычислительных экспериментов). Ниже перечислены темы задания № 2 по вариантам с указанием входных и выходных параметров процедуры решения системы уравнений, которую мы будем называть основной процедурой задания; в некоторых вариантах сделаны уточняющие замечания. Перед выполнением вычислительных экспериментов необходимо внимательно (!) прочитать раздел «О составлении численных примеров…», тем, кто реализует метод Халецкого, особое внимание обратить на п. 6 этого раздела.
Метод прямых итераций c исчерпыванием определения пары с третьим максимальным по модулю собственным значением симметричной матрицы простой структуры.
Входные параметры основной процедуры:
- N – размерность матрицы;
- A – двумерный массив размерности N × N;
- λ_n – максимальное по модулю собственное значение матрицы A;
- x_n – собственный вектор, соответствующий собственному значению λ_n;
- λ_n1 – второе максимальное по модулю собственное значение;
- x_n1 – собственный вектор, соответствующий собственному значению λ_n1;
Выходные параметры основной процедуры:
- IER – код завершения;
- λ – третье максимальное по модулю собственное значение;
- x – третий собственный вектор;
- K – число выполненных итераций;
- r – мера точности полученной пары (λ, x).
Отчет о выполнении задания должен включать в себя следующее:
- Постановку задачи.
- Метод решения (формулы, алгоритмы).
- Описание основных процедур (входные и выходные параметры, назначение).
- Результаты вычислительных экспериментов (по крайней мере, набор обязательных вычислительных экспериментов).