Numerical_Methods_5-semester

Laboratory work in Numerical Methods 5 semester

Tasks

Task 1

					k	k+1
*	*				*	*
*	*	*			*	*
	*	*	*		*	*
		*	*	*	*	*
			*	*	*	*
				*	*	*
					*	*	*
					*	*	*	*
					*	*	*	*	*
					*	*		*	*	*
					*	*			*	*	*
					*	*				*	*

В задании № 1 предполагается разобрать метод решения системы уравнений с матрицей специального вида.

Портреты матриц систем во всех 11 вариантах задания различны и определяются номером варианта. Однако по структуре они похожи – имеют по три диагонали и «испорчены» либо двумя столбцами, либо двумя строками, либо одним столбцом и одной строкой. В настоящем пособии подробно разобран пример решения подобной системы, причем более сложной.

Во всех вариантах исходные системы уравнений задаются шестью векторами: a, b, c, f, p, q. Векторы a, b, c содержат значения трех диагоналей матрицы, f – вектор правой части системы, p, q – векторы для строк или столбцов, которые «портят» матрицы системы.

В отчете о выполнении задания должны содержаться следующие пункты:

Постановка задачи, в том числе запись системы, аналогичная (1), и символическое изображение исходной матрицы.
Метод решения – символическое изображение алгоритма решения, подобное рис. 1; все вычислительные формулы; число операций прямого и обратного хода метода.
Основные процедуры – описание входных и выходных параметров, назначение процедуры. Среди основных процедур должна быть процедура решения системы уравнений специального вида с входными параметрами n (размерность системы), a, b, c, f, p, q (векторы, задающие систему уравнений) и выходными параметрами x (решение), код завершения, оценка точности решения.
Результаты тестирования в виде таблицы.

№ теста	Размерность системы	Диапазон значений элементов матрицы	Средняя относительная погрешность системы	Среднее значение оценки точности
1	...	...	...	...

Task 2

Метод Халецкого для решения СЛАУ с симметричными ленточными матрицами. Входные параметры основной процедуры:

N, L – размерность системы и половина ширины ленты матрицы;
А – массив размерности, N × L содержащий нижнюю часть ленты матрицы исходной системы уравнений;
f – вектор правой части системы размерности N.

Выходные параметры основной процедуры:

IER – код завершения;
x – вектор решения размерности N.

Как и в задании № 1, содержание индивидуальных заданий зависит от номера варианта. В каждом варианте предполагается реализовать тот или иной, или два метода решения систем линейных уравнений, а затем провести вычислительный эксперимент. Отчет о выполнении задания должен содержать следующие пункты:

Постановка задачи.
Метод решения (формулы, алгоритмы, число операций).
Основные процедуры – описание входных и выходных параметров, назначение процедуры. Среди основных процедур должна быть процедура решения системы уравнений, имеющая в числе выходных параметров код завершения и оценку точности.
Результаты вычислительных экспериментов (набор обязательных вычислительных экспериментов). Ниже перечислены темы задания № 2 по вариантам с указанием входных и выходных параметров процедуры решения системы уравнений, которую мы будем называть основной процедурой задания; в некоторых вариантах сделаны уточняющие замечания. Перед выполнением вычислительных экспериментов необходимо внимательно (!) прочитать раздел «О составлении численных примеров…», тем, кто реализует метод Халецкого, особое внимание обратить на п. 6 этого раздела.

Task 3

Метод прямых итераций c исчерпыванием определения пары с третьим максимальным по модулю собственным значением симметричной матрицы простой структуры.

Входные параметры основной процедуры:

N – размерность матрицы;
A – двумерный массив размерности N × N;
λ_n – максимальное по модулю собственное значение матрицы A;
x_n – собственный вектор, соответствующий собственному значению λ_n;
λ_n1 – второе максимальное по модулю собственное значение;
x_n1 – собственный вектор, соответствующий собственному значению λ_n1;