Набор домашних заданий по предмету "Современные проблемы при реализации комплексов программ"
02.06.01, Компьютерные науки, РУДН, 2019-2020
- Вычислить разностную производную функции f(x) = e^x, x ∈ [0, 1] тремя способами:
f'|x=xn ≈ (f(x_n+1) − f(x_n))/h, 1 <= n <= N − 1; f'|x=xn ≈ (f(x_n) − f(x_n−1))/h, 2 <= n <= N; f'|x=xn ≈ (f(xn+1) − f(xn−1))/2h, 2 <= n <= N − 1.
Здесь h = 1/N – шаг сетки. Для каждого способа провести расчет на нескольких сетках N = 10, 20, 40, 80, 160, . . . На каждой сетке найти фактическую погрешность
dn = f'точное(x_n) − f'приближенное(x_n), D = max |d_n|. Построить графики lg D от lg N для каждого способа.
- Вычислить определенный интеграл I = f(x)dx from 0 to 1, f(x) = e^x двумя способами:
I. sum h/2 * (f(x_n+1) + f(x_n)) from 1 to N-1 (формула трапеций); II. sum h * f (x_n + h/2) from 1 to N-1 (формула средних).
Для каждого способа провести расчет на нескольких сетках N = 10, 20, 40, 80, 160, . . . Для сеток N = 20, 40, 80, 160, . . . оценить точность расчета по методу Ричардсона DRich и вычислить фактическую погрешность D = |I точное − I приближенное|. Построить график lg DRich и lg D от lg N.
- Вычислить интеграл I = e^(−x^2)dx from 0 to Inf по формуле средних. Использовать квазиравномерную сетку
x(ξ) = ξ/sqrt(1 + ξ^2), ξ ∈ [0, 1].
Провести исследование сходимости, аналогичное задаче 1. Точное значение интеграла равно I =√π/2.
- Решить начально-краевую задачу для линейного одномерного уравнения переноса u_t + u_x = 0, 0 < x < 10, 0 < t < 10; u|t=0 = x^2 u|x=0 = 0.
Использовать схему «верхний уголок». Пусть N – число шагов по пространству, M – число шагов по времени. Провести расчет на сгущающихся сетках N = M = 100, N = M = 200, N = M = 400, . . . На второй и последующих сетках вычислить оценку точности по методу Ричардсона dn,m, D = max_n,max_m|d_n,m|. Построить график lg D от lg N.
-
Решить начально-краевую задачу для квазилинейного уравнения переноса u't + u*u'x = 0, 0<x<10, 0<t<10 u|t=0=e^x x|x=0=1/(1+t^2)
-
Решить начально-краевую задачу для одномерного уравнения теплопроводности u't=u'xx+f(x,t), 0<x<1, 0<t<1 u|t=0=x^2 x|x=0=0 u|x=1=1
Сетки по пространству и времени содержат N=100 и M=100 шагов соответственно. Расчет провести по число явной и чисто неявной схеме. Для каждой схемы построить графики решения в зависимости от x в несколько фиксированных моментов времени t = 0.25, 0.5, 1. Сравнить полученный результаты.
- Решить начально-краевую задачу для одномерного уравнения колебаний u'tt=u'xx, -1<x<1, 0<t<2 u|t=0=e^-2 u't|t=0=0 x|x=-1=e^-1 x|x=1=e^-1
Сетки по пространству и времени содержат N=100 и M=100 шагов соответственно. Расчет провести по чисто неявной схеме.