/zadania-powtorka-matura

Spis zadań powtórzeniowych

Wszystkie zadania z biorę z kurczaba

Dokument będzie intensywnie ewoluował, zalecam codziennie sprawdzanie ;)

Wykaz oznaczeń

  • SR<numer klasy> - stare rozszerzenie
  • NR<number klasy> - nowe rozszerzenie
  • m<rok>z<zadanie> - matura rozszerzona
  • RRN - równania, różnania, nierówności
  • hierarchia metod - w jakiej kolejności wykonywać metody, żeby rozwiązanie było możliwie jak najkrótsze

zadania z potęgami

zadania z logarytmami

  • SR1: 3.170-173 + matury

dowody

  • klasyczne dowody
    • SR1: 3.132-133, 137-142, 149-153, 156-157, 227-231 + matury
  • średnie + nierówność Cauchy'ego:
    • SR1: 3.204-206
    • NR3: 1.116-123
    • m16z8
  • analiza z dowodami
    • m15z8
    • NR3: 1.177-179

planimetria

Tu jest za dużo potencjalnych zadań do wypisania, więc wymienię metody

Hierarchia metod

  1. trygonometria w trójkącie prostokątnym, przystawanie i podobieństwo trójkątów, twierdzenie o dwusiecznych w trójkącie, o dwóch stycznych, okręgi wpisane i opisane w czworokącie, środek ciężkości trójkąta
  2. pole na 2 sposoby!!!!! (zwłaszcza do liczenia r, R w trójkącie, sin kąta między przekątnymi w czworokącie),
  3. twierdzenie Pitagorasa, cosinusów, sinusów

Kiedy używać metod?

  • tw. cosinusów - gdy mamy dwa boki i kąt między nimi, to można policzyć trzeci bok, bądź gdy mamy zestaw boków, to można policzyć cosinus dowolnego kąta
  • tw. sinusów - gdy mamy 3 z 4 w dwóch parach (bok, sinus kąta naprzeciwko boku) bądź gdy chcemy policzyć coś w trójce (bok, sinus kąta naprzeciwko, R)

Protipy

  • trapez:
    • pamiętać o średnich:
      • odcinek łączący środki ramion,
      • odcinek równoległy do podstaw dzielący trapez na dwa o trapezy o równych polach,
      • odcinek równoległy do podstaw dzielący trapez na dwa trapezy podobne
      • odcinek równoległy do podstaw przechodzący przez punkt przecięcia przekątnych
    • pamiętać o tym, że jeżeli porysujemy przekątne, to dostaniemy 4 trójkąty zależne od siebie polami
    • pamiętać, gdzie leżą środki okręgów wpisanych i opisanych (jeżeli okrąg opisany na trapezie, to trapez musi być równoramienny, w przeciwnym przypadku nie, ale istnieje zawsze charakterystyczny trójkąt prostokątny w trapezie)
  • jak klasyczna planimetria zawiedzie, to zawsze warto ratować się geometrią analityczną - wpisujemy rysunek w układ współrzędnych
  • romb to dalej równoległobok - działa np. klasyczny wzór na pole = a*h

Zadania z modułami

  • RRN z modułami Pamiętać o dwóch typach zadań:
    • sprowadzalne do postaci moduł z wyrażenia po jednej stronie, liczba po drugiej - proste zadania
    • pozostałe - występują, gdy jest wiele modułów z niewiadomymi oddzielonych sumami/różnicami bądź występuje niewiadoma w i poza modułem SR2: 1.106, 109, 110, 114 SR2: 2.300, 309

Przekształcenia wykresów funkcji

  • pamiętać o wzorach na przekształcenia
  • uważać przy modułach - gdy argument jest w bądź poza modułem lub wiele modułów z argumentami oddzielonymi sumami/różnicami, to opuszczać przypadkami identycznie, jak w przypadku pozostałych RRN z modułami
  • uważać na wredne powinnowactwo prostokątne względem osi OY SR1: 9.133, 134, 137 SR2: 1.115 SR2: 2.285 SR3: 2.111 (pamiętać o tym, że |x|^parzystej = x^parzystej)

RRN z parametrem!

WAŻNE! - nie musi być funkcji kwadratowej ;)

Co robić wg typu:

  • równania z parametrem - podział:
    • równania sprowadzalne do postaci funkcja x po jednej stronie bez parametru = wyrażenie po drugiej stronie z parametrem - najprościej jest rozwiązywać w oparciu o funkcję lewej strony SR3: 2.114, SR1: 9.152, 160 SR2: 8.104
    • równania bez podstawień:
      • liniowe - 3 typy rozwiązań SR2: 1.90
      • układy równań - ZAWSZE robić wyznacznikami w oparciu o 3 typy SR2: 1.160, 152, m16z10
      • kwadratowe - tutaj uważać, pewnie potrzebne będą jakieś warunki dotyczące delty, znaków miejsc zerowych (zawsze używać do nich wzorów Viete'a) + inne tu najlepiej porobić z matur
      • wielomianowe - tutaj patrzeć, ile rozwiązań dostajemy na sztywno z postaci iloczynowej, a ile rozwiązań musi mieć pozostałe równanie z parametrem SR2: 5.198, 200, 203, 197
    • równania z podstawieniami - część wspólna dwóch poprzednich typów - najpierw określamy ile rozwiązań na zmiennej x generuje jedno rozwiązanie na zmiennej t, a potem określamy warunki równania na zmiennej pomocniczej t SR2: 5.208, 207
  • nierówności/różnania - tu ZAWSZE przenosimy wszystko na jedną stronę i rysujemy wykres takich funkcji lewej strony, które spełniają warunki zadania - na podstawie tych wykresów określamy, jakie postawić warunki do rozwiązania SR2: 1.99 - 105 SR2: 2.271-273

Wielomiany

  • podstawy: SR2: 5.12, 20, 45
  • rozpisywanie z podzielności/dzielenia z resztą: 5.72, 78, 86, 88, 89, m15z15

Ciągi

  • podstawy: SR2: 7.19, 15
  • udowadnianie monotoniczności: 7.22
  • różne zadania z ciągów geometrycznych i arytmetycznych - robić matury, 7.100, 118,
  • granice - 7.154, 153, 156
  • szeregi - 7.167, 170, 175, 180, 185, 193

Trygonometria 2

  • przekształcenia wykresów - SR2: 8.22, 41, 42, 54
  • różne zadania: 8.67, 73, 80
  • RÓWNANIA! - wszystko z matur + 8.81 - 100

Analiza

  • ciągłość funkcji w punkcie/przedziale: SR3: 2.41, 51
  • własność Darboux: 2.53, informator
  • asymptoty - 2.70,
  • styczne!: 2.82-87, informator, matury, zadanka z pdf
  • optymalizacja: matury!, 2.126 (jak funkcja wychodzi z pierwiastkiem, to wrzucamy argumenty pod pierwiastek i badamy funkcję podpierwiastkową), SR3: 3.188, 186, 193, 194

Geometria analityczna:

  • matury!
  • SR3: 3.36, 37, 68, 72, 86, 92, 103, 112, 120!, 135, 136, 143, 176

Prawdopodobieństwo, kombinatoryka

  • matury!
  • zadanka z pdfa

różne śmieszne metody

  • dowody z rozpisywaniem założeń mniejszościowych do postaci równań
  • RRN kwadratowe z wieloma niewiadomymi
  • geometria analityczna w zwykłej planimetrii
    • m21z8
    • m16z8

pro-tipy

  • dowody

    • pamiętać o tym, że przekształcanie tezy należy poprzedzić komentarzem "Pokażę, że" - jak udowodnimy końcową postać tezy, to trzeba napisać komentarz "skoro RRN końcowe jest prawdziwe, to teza też jest prawdziwa"
    • założenia zazwyczaj są po coś
    • jak nie wiadomo co robić, to można:
      • szukać średnich i nierówność Cauchy'ego
      • przenosić wszystko na lewą stronę i wprowadzać funkcję lewej strony

  • moduły

    • RRN z modułami
      • pamiętać o dwóch typach RRN

  • planimetria

    • pole na dwa sposoby

  • analiza matematyczna

    • wyciągać stałe ze wzoru funkcji przed liczeniem pochodnej
    • pochodna jest też funkcją! - określać dziedzinę pochodnej
    • w optymalizacji jak funkcja jest z pierwiastkiem, to wrzucamy zmienne pod pierwiastek i optymalizujemy tylko funkcję pod pierwiastkiem

Czego nie ma w kartach wzorów

  • planimetria

    • wzór na pole dowolnego czworokąta = 1/2 * przekątna * przekątna * sinus kąta między przekątnymi
    • opis, gdzie leży środek okręgu wpisanego/opisanego w zależności od typu trójkąta/czworokąta

  • trygonometria

    • cotangensa
    • wzorów na funkcje trygonometryczne kąta (-alfa)
    • wzorów na serie rozwiązań

  • geometria analityczna

    • wzorów na kąty między wektorami, między prostymi
    • wygodnego sposobu liczenia pola trójkąta na podstawie 1/2 * moduł z wyznacznika pary wektorów, na których rozpięty jest trójkąt