Apuntes de Topología Algebraica
Estas notas empezaron a elaborarse cuando estaba cursando la asignatura «Topología Algebraica» en la Universidad Complutense de Madrid, a cargo de Elena Martín Peinador y de Juan Ángel Rojo Carulli. La bibliografía que he seguido principalmente han sido el libro de Hatcher, el de Fulton y el de Vicente Muñoz. Cabe destacar que estas notas no son ni pretenden ser unas "notas de clase" ni mucho menos un "libro de la asignatura", simplemente muestran la forma en la que yo he ido entendiendo la asignatura y, de hecho, he intentado darle un enfoque distinto al que se dio a la asignatura cuando la cursé, ya que he preferido hablar de cubiertas antes de entrar con el teorema de Seifert-Van Kampen, al estilo de Fulton. Esto permite dar una prueba más sencilla del teorema (aunque sólo vale para el caso en el que los espacios involucrados admitan cubierta universal).
Las notas probablemente tengan muchas erratas e inconsistencias, e incluso algunos errores de base, que pretendo corregir en una futura aproximación a la asignatura, o que sean corregidas por algún hipotético lector o lectora que se copie el proyecto. De cara a esa posible situación, dejo también mi proyecto de ampliación de las notas.
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En primer lugar, me gustaría añadir un Capítulo 1 (previo al Capítulo 1 actual, el de homotopía), con un nombre parecido a «Algunos conceptos de topología general», donde se traten los siguientes temas:
- Topología cociente. Ejemplos: Toros, bandas de Moebius, botellas de Klein y espacios proyectivos reales y complejos.
- Celdas y pares.
- Variedades topológicas con y sin borde.
- Adjunción, wedge y suma conexa.
- Complejos de celdas: complejos simpliciales, Δ-complejos y CW-complejos.
- Orientación (de superficies).
- Clasificación de superficies (incluso tal vez las no compactas?).
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En continuación con el texto tal y como está ahora, añadiría un Capítulo 5 titulado «Cálculo del grupo fundamental y aplicaciones», con los siguientes temas:
- Grupo fundamental de las esferas y de los espacios proyectivos.
- Grupo fundamental de los toros en dimensión arbitraria. Grupo fundamental del producto cartesiano y usando recubridores.
- Grupo fundamental de las superficies cerradas.
- Grupo fundamental de un wedge arbitrario de circunferencias.
- Grafos y el teorema de Nielsen-Schreirer.
- Realización de un grupo como el grupo fundamental de un CW-complejo.
- Teorema fundamental del álgebra y teorema del punto fijo de Brower.
- Teorema de la bola peluda.
- Álgebras de división sobre R.
- Teoremas de Borsuk-Ulam.
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Un Capítulo 6 de homología: álgebra homológica, homología simplicial y homología singular. ¿Tal vez algo de cohomología? Con aplicaciones: Borsuk-Ulam general, bola peluda general y curva de Jordan.
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Un capítulo o un apartado sobre homotopía superior (similar al Hatcher):
- Definición de los grupos de homotopía superior.
- Isomorfismo de los grupos de homotopía superior en espacios conexos por caminos.
- Isomorfismo con las cubiertas.
- Productos.
- Equivalencia de homotopía relativa.
- Teorema de Whitehead.
- Aproximación celular.
- ¿Algo de ∞-grupoides, tipos de homotopía y la tesis de homotopía (la relación entre los ∞-grupoides y los CW-complejos?
Guillermo Gallego
Carabanchel, 21 de abril de 2018.