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Appunti Analisi Matematica

Simboli matematici in ordine sparso usati in questo how to...

$\iff$ se e solo se (coimplicazione logica)

$\subseteq$ sotto insieme di

$\cap$ Intersezione

$:$ tale che nelle definizioni di insieme

Riepilogo di alcuni insiemi numerici

Insieme Numeri Naturali $\mathbb{N}$

$\mathbb{N} ={1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ ...}$

Insieme dei numeri relativi $\mathbb{Z}$

$\mathbb{Z}= {-5,\ -4,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ ...}$

Insieme dei numeri razionali relativi $\mathbb{Q}$

Ed esempio:

$-\frac{3}{2},\ -\frac{1}{2},\ 1,\ 2,\ 3$

Insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$

è definito come unione dei numeri razionali e irrazionali

$\mathbb{R} =\mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$

Sono tutti i numeri positvi e negativi (zero incluso)

Ed esempio:

$-\frac{3}{2},\ -\frac{1}{2},\ 1,\ 2,\ 3, \pi, \sqrt[4]{2}$

Assiomi dei numeri reali

Assiomi di ordinamento totale.

Definisce la relazione $\leq$ tra coppie di elementi in $\mathbb{R}$ se:

Proprieta di dicotomia: per ogni coppia di $a,b \in \mathbb{R}$ si ha $a \le b$ o $b \le a$
Proprietà di antisimmetria: se $a \le b$ e $b \le a$ allora $a = b$
Proprietà transitiva: se $a \le b$ e $b \le c$ allora $a \le c$
Proprietà simmetrica per ogni elemento $a \in \mathbb{R}$ vale $a \le a$

Alcuni assiomi relativi alle operazioni

Proprietà commutativa della somma: per ogni $a, b \in \mathbb{R}$ si ha che $ a + b = b + a$
Proprietà associativa della somma: $\forall\ a, b \in \mathbb{R}$ si ha $a + (b + c) = ( a + b ) + c$
Proprietà elemento neutro (lo zero) rispetto alla somma: $0 + a = a + 0 = a $
Esistenza elemento opposto: $\forall\ a \in \mathbb{R}$ esiste un $-a\ \in \mathbb{R}$ tale che $a + (-a) = 0$

Proprietà commutativa moltiplicazione: $\forall\ a,b \in \mathbb{R}$ si ha che $ab = ba$
Proprietà associativa della moltiplicazione: $\forall\ a,b \in \mathbb{R}$ si ha che $a(bc) = (ab) c$
Proprietà elemento neutro (il numero 1) rispetto alla moltiplicazione: $\forall\ a \in \mathbb{R}$ si ha che $1a = a1 = a$
Esistenza elmento inverso: $\forall\ a \in \mathbb{R}, a \mathbb{N}e 0$ esiste un solo $a^{-1} \in \mathbb{R}$ per cui $aa^{-1} = a^{-1}a = 1 $ Il numero $a^{-1}$ si esprime anche con $\frac{1}{a}$

Massimo e minimo insieme numeri reali

Definizione di maggiorante

$L \in \mathbb{R}$ è maggiorante di A se $\forall\ a \in A$ si ha che $a \le L$

Definizione di minorante

$l \in \mathbb{R}$ è minorante di ha se $\forall\ a \in A$ si ha che $a \ge l$

Massimo di un insieme

se M è un maggiorante di A
se $M \in A$

Minimo di un insieme

se m è un minorante di A
se $m \in A$

Insieme limitato superiormente

Dato $A \subseteq \mathbb{R}$ (A sottoinsieme di $\mathbb{R}$) $A$ è limitato superiormente se esiste un maggiorante di $A$

Insieme limitato inferiormente

Dato $A \subseteq \mathbb{R}$ (A sottoinsieme di $\mathbb{R}$) $A$ è limitato inferiormente se esiste un minorante di $A$

Estremo superiore

Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ limitato superiormente. L'estremo superiore di $A$ è il minimo dei maggioranti di $A$ e si indica con "sup $A$"

Estremo inferiore

Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ limitato inferiormente. L'estremo inferiore di $A$ è il più grande dei minoranti di $A$ e si indica con "inf $A$"

Topologia della retta reale

Si definisce modulo o valore assoluto di $a$ il massimo tra $a$ ed il suo opposto $-a$

$\mid a \mid\ = max\ ${$a,-a$}

Distanza

Per $x,y \in \mathbb{R}$ la distanza tra $x$ e $y$ si definisce con:

$d(x,y) =\ \mid x - y \mid$

(Alcune) Proprietà distanza

La distanza tra $x$ e $y$ è maggiore o uguale a 0 per ogni $x$ e $y$ appartenenti all'insieme dei numeri reali.

$d(x,y) \ge 0$ , $\forall\ x,y \in \mathbb{R}$

La distanza tra $x$ e $y$ è uguale a 0 se e solo se $x$ è uguale a $y$.

$d(x,y) = 0$ $\iff x = y $

La distanza tra $x$ e $y$ è uguale alla distanza tra $y$ e $x$ per ogni $x$ e $y$ appartenenti all'insieme dei numeri reali $d(x,y) = d(y,x)$ , $ \forall\ x,y \in \mathbb{R}$

Intorno sferico

Dato $x_0 \in \mathbb{R}$ e $r > 0$ definiamo intorno sferico di centro $x_0$ e raggio $r$ l'insieme di tutti i numeri reali la cui distanza da $x_0$ è minore di $r$

Rappresentazione grafica dell'intorno sferico:

Spiegazione definizione:

$B_r(x_0) =\ ${$x \in \mathbb{R}: d(x,x_0) < r$}$\ = \ ${$\ x \in \mathbb{R}: |x - x_0| < r $}

Insieme Aperto

Un insieme $A \subseteq \mathbb{R}$ si dice aperto se per ogni $x \in \mathbb{R}$ esiste un $r > 0$ (quindi un raggio dell'intorno sferico) tale che $B_r(x_0)$ è contenuto in $A$

Quindi è aperto quando l'intorno sferico è contentuo nell'insieme oggetto dell'analisi.

Esempio Insieme Aperto

Di seguito un esempio di un insieme aperto:

L'insieme descritto dall'immagine è $(a, + \infty)\ =\ ${$ x \in \mathbb{R}: x > a $}

Infatti avendo dichiarato $x > a$

e immaginando che $r$ sia uguale sempre a $x - a$ ovvero la distanza tra $x$ e $a$ qualsiasi intorno sferico è contenuto in $A$

Quindi:

L'intorno sferico di x è contenuto nell'insieme $(a, +\infty) $

Punti di accumulazione

Sia $A \subseteq \mathbb{R}$. Un punto $x \in A$ si dice punto di accumulazione per $A$ se in ogni intorno di $x$ è presente almeno un punto di $A$ diverso da $x$ oppure

$x_0$ è un punto di accumulazione per l’insieme $A$ se in ogni intorno di $x_0$ cadono infiniti elementi di $A$.

Insieme chiuso (da rivedere)

Un insieme $D$ è chiuso se e solo se contiene tutti i suoi punti di accumulazione.

Principio di induzione

Una proposizione che da un indice $n \in N$ è vera per $n = 1$ e per $n + 1$. Allora è vera per ogni $n \in N$.

Funzioni

Definizione

Dati due insiemi $A$ e $B$ si dice funzione di $A$ in $B$ una legge che associa ad un elemento di $A$ uno ed un solo elemento di $B$

Di seguito il simbolo per definire la funzion di $A$ in $B$

$f: A \longrightarrow B $

$A$ è il dominio

$B$ è il codominio

L'elemento $y$ di $B$ è stato associato tramite $f$ all'elemento $x$ di $A$ e si indica con

$y = f(x)$ (si chiama anche immagine di $x$)

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