#P1
La ecuación de Fisher-KPP es una llamada ecuación de reacción-difusión que busca modelar el comportamiento de una especie animal. A continuación se presenta su versión en 1D:
Latex:
\frac{\partial n}{\partial t} = \gamma \frac{\partial^2n}{\partial x^2} + \mu n - \mu n^2
La variable n = n(t, x) describre la densidad de la especie como función del tiempo y la posición. Los 3 términos del lado derecho corresponden a:
- μn : la tendencia de la especie a crecer indefinidamente (suponiendo que los recursos sean infinitos).
- –μn2 : Despues de un tiempo, el aumento en densidad creará competencia por los recursos, lo que tenderá a disminuir la densidad.
- γ ∇ n : La tendencia de la especie a dispersarse para encontrar más recursos.
La ecuación tiene dos puntos de equilibrio n=0 y n=1, pero solo el segundo es estable. Las soluciones tienen un comportamiento que es una mezcla de difusión y un pulso viajero.
Para resolver la ecuación discretice la parte de difusión usando el método de Crank–Nicolson, y el método de Euler explícito para la parte de reacción. Resuelva la ecuación para x entre 0 y 1 con γ = 0.001 y μ = 1.5. Discretice el espacio en aproximadamente 500 puntos y considere las siguientes condiciones de borde:
Latex:
\begin{flalign*} n(t, 0) &= 1\\ n(t, 1) &= 0\\ n(0, x) &= e^{-x^2/0.1} \end{flalign*}
Por último, elija su paso temporal de modo que la solución sea estable e integre hasta al menos t = 4 (en las unidades en que están escritas las ecuaciónes y las constantes).
Presente la solución encontrada e interprete los resultados.
#P2
La ecuación de Newell-Whitehead-Segel es otra ecuación de reacción-difusión que describe fenómenos de convección y combustión entre otros. La ecuación es la siguiente:
Latex:
\frac{\partial n}{\partial t} = \gamma \frac{\partial^2n}{\partial x^2} + \mu ( n - n^3)
Esta vez la ecuación tiene 3 puntos de equilibrio n = 0 (inestable) y n =± 1 (estables). Explique en argumentos simples por qué son estables.
Integre esta ecuación siguiendo la misma estrategia que en la pregunta anterior (mismas constantes también) pero con las siguientes condiciones de borde:
Latex:
\begin{flalign*} n(t, 0) &= 0\\ n(t, 1) &= 0\\ n(0, x) &= \texttt{np.random.uniform(low=-0.3, high=0.3, size=Nx)} \end{flalign*}
Si resolvió la pregunta anterior de manera ordenada y modular, entonces sólo necesitará hacer un par de pequeños cambios a su código.
Nota: las condiciones iniciales son aleatorias. Asegúrese de setear las condiciones de borde (n = 0 para x=0, 1) despues de asignar las condiciones aleatorias. También es importante setear la semilla al principio del script (
np.random.seed(<algún int>)), de esa manera su resultado será reproducible y no cambiará cada vez que ejecute el script.
Cambie la semilla un par de veces y estudie los cambios en su resultado.
Presente sus resultados mediante los gráficos que le parezcan relevantes e interprete los resultados.
Otras Notas.
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Utilice
gitdurante el desarrollo de la tarea para mantener un historial de los cambios realizados. La siguiente cheat sheet le puede ser útil. Evaluar el uso efectivo degit. Recuerde hacer cambios significativos pero relativamente pequeños y guardar seguido. Evite hacercommitsde código que no compila y deje mensajes que permitan entender los cambios realizados. -
Evaluaremos su uso correcto de python. Si define una función relativamente larga o con muchos parámetros, recuerde escribir el doctsring que describa los parametros y que es lo que hace la función. También recuerde usar nombres explicativos para las variables y las funciones. El mejor nombre es aquel que permite entender que hace la función sin tener que leer su implementación.
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Los códigos entregados deben pasar las reglas de PEP8. En la línea de comando puede intentar
pep8 <script.py>y asegurarse de que no hay errores ni advertencias. Los comandospep8 --show-source <script.py>ypep8 --show-pep8 <script.py>que vimos en clase le pueden ser útiles. Si es de aquellos que resuelven su tarea usando elipython notebook, entonces exporte la tarea a un archivo normal depythony asegúrese de que pasa el test de PEP8. -
La tarea se entrega como un pull request en github. El pull request debe incluir todos los códigos usados además de su informe.
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El informe debe ser entregado en formato pdf, este debe ser claro sin información ni de más ni de menos.