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LinearAlgebra

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시각화 너무 좋음...

Chapter 2

span : The sapn of v and w is the set of all their linear combinations

  • av + bw
2D sapn(planes or lines)
  • lines : 같은 선상에 있으려면, 두 벡터가 같은 방향일 때 image
3d span(planes)
  • 세 벡터가 같은 평면(span)에 있으면, 세 번째 벡터 역시 추가되어도 같은 span
  • 세 번쨰가 나머지 두 벡터의 span위에 있지 않으면, 세번째의 방향에 따라 첫번째, 두번째 span이 움직임
  • 세 번째가 나머지 두 벡터의 span위에 있다. 즉, v와 w로 세번째 벡터 표현 가능. (linearly dependent) image

Chapter 3 Linear Transformations

  • The word transformation suggets that you think usin movement
  • a.k.a function
  • Grid lines remain parallel and evenly spced
  • Lines remain lines
  • Origin remains fixed

Chapter 4 Matrix multiplication as composition

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  • 행렬곱은 결국, 여러 가지 선형변환의 결합
  • M1M2 != M2M! 행렬곱은 교환법칙이 성립하지 않는데, 이 이유는 여러가지 변환이라 생각하면 쉽다

Chapter 5 Three-dimensional linear transformations

Chapter 6 The determinant

  • determinant : 선형변환에 의한 영역의 변화를 나타내는 팩터 / 3차원에서는 부피로 생각
  • negative determinant는 orientation-flipping
  • determinant = 0 : 부피 혹은 면적이 0이 된다는 것!(linearly dependent)

Chapter 7 The determinant Inverse matrices, column space and null space

  • Ax = v : A행렬을 이용하여 변환 후, v가 되는 벡터x가 있는지 찾아 보는 것
  • A변환이 면적 혹은 공간을 아예 0으로 만드는 것이 아니라면( det(A)!=0 ), x벡터는 존재. (일대일대응)
  • det(A)!=0 - > A inverse 존재
  • 공간을 뭉게버리면(det(A) = 0) 다시 돌아갈 수 없다. A inverse 존재 x
  • Rank : Number of dimensions in the output (n x n 행렬의 rank max = n)
  • Column Space of A : Set of all possible outputs Av
  • zero vector is always in the column space
  • full rank이면, 원점으로 변환되는 경우는 원점뿐
  • full rank가 아니라면, 평면이 통째로 원점으로 변환될 수 도 있음.
  • null space or kernel : 원점으로 이동되는 벡터들의 집합

Chapter 8 Nonsquare matrices as transformations between dimensions

Chapter 9 Dot products and duality

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  • 두 벡터가 같은 방향을 가리키면 내적 > 0 (0~90도)
  • 두 벡터가 수직이면 내적 = 0 (09도)
  • 두 벡터가 반대 방향을 가리키면 내적 < 0 (91~180)