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墨卡托投影坐标系

取零子午线或自定义原点经线($L0$)与赤道交点的投影为原点，零子午线或自定义原点经线的的投影为纵坐标$Y$轴，赤道的投影为横轴坐标$X$轴，构成墨卡托平面直角坐标系

以下所列的转换公式都是基于椭球体

$a$ —— 椭球体长半轴，单位米(m)

$b$ —— 椭球体短半轴，单位米(m)

$f$ —— 扁率：$f=\frac{a-b}{a}$

$e$ —— 第一偏心率：$e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$

${e}'$ —— 第二偏心率：$e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{b}=\sqrt{\frac{a^2}{b^2}-1}$

$N$ —— 卯酉圈曲率半径，单位米(m)

$R$ —— 子午圈曲率半径，单位米(m)

$B$ —— 纬度， $L$ —— 经度，单位弧度(rad)

$Y$ —— 纵直角坐标，$X$ —— 横直角坐标，单位米(m)

墨卡托投影正解公式

$(L, B) \to (X, Y)$，标准纬度$B0$，原点纬度0，原点经度$L0$ $$ \begin{equation} \begin{aligned} X_E=&K(L-L0)\ Y_N=&K \ln [\tan (\frac{\pi}{4}+\frac{B}{2})(\frac{1-e \sin B}{1+e \sin B})^{\frac{e}{2}}] \ K = &N_{B0}\cos(B0)=\frac{a^2/b}{\sqrt{1+{e}'^2 \cos^2(B0)}}\cos(B0) \end{aligned} \end{equation} $$
墨卡托投影反解公式：

$(X, Y) \to (L, B)$，标准纬度$B0$，原点纬度0，原点经度$L0$ $$ \begin{equation} \begin{aligned} L = & \frac{X_E}{K}+L0\ B=& \frac{\pi}{2}-2\arctan {\exp{(-\frac{Y_N}{K})} * \exp{[\frac{e}{2}\ln(\frac{1-e\sin B}{1+e\sin B})]}} \end{aligned} \end{equation} $$ 公式中$\exp$为自然对数底，维度B通过迭代计算很快就收敛了

正投影公式 $$ \begin{equation} \begin{aligned} X=&Rrlng\ Y=&R\ln[\tan(\frac{\pi}{4}+\frac{rlat}{2})] \end{aligned} \end{equation} $$
反投影公式 $$ \begin{equation} \begin{aligned} rlng = &\frac{X}{R} \ rlat = & 2\arctan[\exp(\frac{Y}{R})] -\frac{\pi}{2} \end{aligned} \end{equation} $$