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응용수학 3차원상의 물체 관통 문제 3D구현

Primary LanguageC#

응용수학: 3차원 평면과 직선이 교차하는가?


📕 제시 문제 📕

3차원 공간에 삼각형 ABC가 있을 때, 사용자가 P 위치에서 점 Q를 타겟으로 하여 총을 쏜다고 가정한다.
직선 운동을 하는 총알이 삼각형 ABC를 맞추었는지 판별하시오.
(단 중력은 작용하지 않는다.)



💡 해결 알고리즘 💡

1. 세 점 A, B, C를 지나는 평면의 방정식을 구한다.

- 점 A를 기준점으로 잡고, 기준점에서 점 B, C에 이르는 벡터 BA, CA를 설정
- 이 때 세 점 A, B, C를 지나는 평면의 법선벡터를 n이라고 하면, 법선벡터 n은 벡터 BA, CA와 동시에 수직하므로 n = BA X CA
- 이 때 n의 x, y, z 성분을 각각 res1, res2, res3이라고 하면, 세 점 A, B, C를 지나는 평면은 점 A를 지나므로 평면의 방정식은 다음과 같다.

res1 * (x - x1) + res2 * (y – y1) + res3 * (z – z1) = 0 <br>

∴res1 * x + res2 * y + res3 * z = res1 * x1 + res2 * x2 + res3 * x3


2. 두 점을 지나는 직선의 대칭 방정식을 이용해 벡터 PQ와 [1.]에서 구한 평면이 충돌하는 지점을 구한다.

- P, Q를 지나는 대칭방정식 구하기
- t에 관해 x, y, z 정리하기
- 이를 평면방정식에 대입하기
- 계수 부분 상수부분 계산후 x, y, z로 정리된 식에 대입해 교점 좌표 구하기

3. 삼각형 안에 교점이 있다면, 아래 공식이 성립한다.

- (∆ABC의 면적) = (∆ABK의 면적) + (∆KBC의 면적) + (∆AKC의 면적)



🛠시뮬레이션 제작 🛠

image

  • C# WPF를 기반으로 작성
  • 삼각형 3개의 좌표와 총알궤적 2개의 좌표를 입력
  • 결과확인 버튼을 누르면 접점, 각 넓이, Alpha/Beta/Gamma 값, 충돌여부, 3d 그래픽을 출력한다.



🔍 의의 🔍

  • 관통여부에 관한 코드만 작성해도 되었으나, GUI 생성 및 3D로 직접 물체를 그려냈음
  • 3차원 상의 도형이 그리는 모델링 기법과 렌더링 기법에 대한 학습



오류

  • 도형을 그리고 reset 후 올바르게 그려지지 않음.