Bem-vindo ao repositório do curso de Introdução à Álgebra Linear! Este curso foi desenvolvido para fornecer aos alunos uma base sólida nos conceitos fundamentais da álgebra linear.
Este curso aborda os princípios básicos da álgebra linear, uma área fundamental da matemática com aplicações em diversas disciplinas, incluindo física, engenharia, economia e ciência da computação.
Como não passar nesta matéria
Olá, queridos alunos! Vamos falar sobre como ter sucesso neste curso? Não? Ah, você quer saber como não passar? Aqui vai um guia infalível para garantir que você não passe nesta matéria. Siga estas dicas e o insucesso será seu fiel companheiro!
Lembre-se: a universidade é igualzinha ao ensino médio! Aquelas matérias complexas e extensas? Pfff, besteira! Você consegue absorver todo esse conteúdo em uma única noite de estudos intensos. Afinal, quem precisa de tempo para processar informações, não é mesmo?
Ignore completamente o fato de que o cérebro precisa de tempo para consolidar memórias e criar conexões entre conceitos. A neurociência? Ora, isso é só um modismo passageiro!
Dormir é perda de tempo. Quem precisa de sono quando se tem café e energéticos? Esqueça tudo o que ouviu sobre a importância do sono para a consolidação da memória e para o bom funcionamento cognitivo.
Afinal, o que os neurocientistas sabem? Eles só estudam o cérebro há décadas. Você, com sua sagacidade de última hora, certamente sabe mais do que eles.
Estudar um pouquinho todos os dias? Que ideia mais absurda! É muito melhor acumular todo o conteúdo para uma maratona de estudos na véspera da prova. Seu cérebro vai adorar essa sobrecarga de informações de última hora.
Ignore completamente as pesquisas que mostram que o aprendizado espaçado é mais eficaz. Afinal, o que é a ciência cognitiva comparada à sua intuição infalível?
Seguindo essas dicas, você estará no caminho certo para não passar nesta matéria. Mas hey, se por algum motivo você decidir fazer o oposto do que foi sugerido aqui - estudar consistentemente, dormir bem e respeitar os processos de aprendizagem do seu cérebro - bem, aí a responsabilidade é toda sua se acabar passando com louvor!
Livro Adotado
O curso é baseado no livro:
"Álgebra Linear com Aplicações" de Howard Anton
- 📢 Atenção, alunos! 📢
- 📖 LEITURA OBRIGATÓRIA do livro texto! 🔍
- 🎓 Em aula, abordaremos os temas mais complexos.
- 🏠 Outros tópicos importantes são para estudo individual no livro.
Glossário de Termos Chave
- Sistema Linear: Conjunto de equações lineares com as mesmas variáveis.
- Matriz: Tabela retangular de elementos dispostos em linhas e colunas.
- Vetor: Matriz com apenas uma linha ou uma coluna.
- Matriz Aumentada: Matriz que representa um sistema linear, contendo os coeficientes das variáveis e os termos independentes.
- Operações Elementares com Linhas: Operações que podem ser aplicadas a uma matriz para transformá-la em uma forma equivalente, sem alterar a solução do sistema linear associado.
- Forma Escalonada: Uma matriz está na forma escalonada quando:
- O primeiro elemento não nulo de cada linha (pivô) é igual a 1;
- Os pivôs de linhas consecutivas estão em colunas diferentes e cada pivô está à direita do pivô da linha anterior;
- As linhas nulas estão abaixo das linhas não nulas.
- Forma Escalonada Reduzida por Linhas: Uma matriz está na forma escalonada reduzida por linhas quando está na forma escalonada e: 4. Cada pivô é o único elemento não nulo da sua coluna.
- Variável Livre: Variável que pode assumir qualquer valor real na solução de um sistema linear indeterminado.
- Matriz Inversa: Matriz que, quando multiplicada pela matriz original, resulta na matriz identidade.
- Matriz Transposta: Matriz obtida trocando as linhas pelas colunas da matriz original.
- Matriz Diagonal: Matriz quadrada onde os elementos fora da diagonal principal são nulos.
- Matriz Triangular Superior: Matriz quadrada onde os elementos abaixo da diagonal principal são nulos.
- Matriz Triangular Inferior: Matriz quadrada onde os elementos acima da diagonal principal são nulos.
- Matriz Identidade: Matriz diagonal onde os elementos da diagonal principal são iguais a 1.
- Introdução aos sistemas de equações lineares e Eliminação gaussiana
- Matrizes e propriedades das operações matriciais
- Matrizes Inversas
- Quiz
- D&D - Áudio
Glossário de Termos Chave
- Determinante: Função que associa um número real a uma matriz quadrada, sendo útil para determinar propriedades da matriz, como invertibilidade.
- Menor: Determinante da submatriz obtida ao remover uma linha e uma coluna de uma matriz quadrada.
- Cofator: Produto do menor pelo fator (-1)^(i+j), levando em consideração a posição (i, j) do elemento na matriz.
- Expansão em cofatores: Método para calcular o determinante de uma matriz utilizando os cofatores de uma linha ou coluna.
- Matriz triangular: Matriz quadrada onde os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos zero (superior ou inferior, respectivamente).
- Matriz elementar: Matriz obtida aplicando-se uma única operação elementar com linhas à matriz identidade.
- Operações elementares com linhas: Operações que modificam uma matriz sem alterar suas soluções (trocar linhas, multiplicar linha por escalar, somar múltiplo de linha a outra).
- Matriz de cofatores: Matriz onde cada elemento é o cofator correspondente da matriz original.
- Adjunta: Matriz transposta da matriz de cofatores, utilizada no cálculo da inversa da matriz original.
- Regra de Cramer: Fórmula que utiliza determinantes para solucionar sistemas de equações lineares com 'n' equações e 'n' incógnitas, quando a matriz de coeficientes é invertível.
- Determinantes por expansão em cofatores
- Calculando determinantes por meio de redução por linhas
- Propriedades dos determinantes; regra de Cramer
- Quiz
Áudio Cyberpunk: Desvendando Determinantes
Antes de continuarmos, é importante compreender um pouco sobre o cyberpunk, um gênero de ficção científica que emergiu nas últimas décadas do século XX. O cyberpunk retrata sociedades futuristas onde a tecnologia avançada coexiste com uma deterioração social, destacando temas como a concentração de renda, corporações dominantes e a marginalização dos indivíduos. Surgiu durante a era do neoliberalismo, servindo como uma crítica aos perigos da rápida evolução tecnológica aliada à desigualdade econômica, apontando para um futuro onde uma tecnocracia poderia controlar os rumos da humanidade.
Utilizar elementos do cyberpunk para explicar conceitos matemáticos pode ser enriquecedor para aqueles que apreciam essa temática, pois adiciona uma narrativa envolvente e contemporânea ao aprendizado. No entanto, reconhecemos que essa abordagem pode não agradar a todos. Nosso objetivo é tornar a exploração dos determinantes mais dinâmica e interessante, sem sacrificar a clareza e a precisão dos conceitos matemáticos fundamentais.
Glossário de Termos Chave
- Vetor geométrico: Um segmento de reta orientado, caracterizado por seu comprimento, direção e sentido.
- Direção e sentido: A direção de um vetor é dada pela reta que o contém, e o sentido é determinado pela orientação da seta.
- Comprimento (ou magnitude): A medida do vetor, representando a distância entre seu ponto inicial e final.
- Ponto inicial: O ponto de onde o vetor se origina.
- Ponto final: O ponto onde o vetor termina.
- Vetores equivalentes: Vetores com o mesmo comprimento, direção e sentido, independentemente de sua posição no espaço.
- Vetor zero: O vetor com comprimento zero, sem direção ou sentido definido.
- Adição vetorial, regra do paralelogramo e regra do triângulo: Métodos geométricos para somar vetores.
- Subtração vetorial: A operação de encontrar a diferença entre dois vetores.
- Negativo de um vetor: O vetor com o mesmo comprimento e direção, mas sentido oposto ao vetor original.
- Multiplicação por escalar: A operação de multiplicar um vetor por um número real (escalar), alterando seu comprimento e/ou sentido.
- Vetores colineares: Vetores que possuem a mesma direção, podendo ter o mesmo sentido ou sentidos opostos (também chamados de vetores paralelos).
- Componentes de um vetor: As coordenadas do ponto final do vetor quando seu ponto inicial está na origem de um sistema de coordenadas.
- Coordenadas de um ponto: Um conjunto de números que identificam a posição de um ponto em um sistema de coordenadas.
- Ênupla: Uma sequência ordenada de números reais, utilizada para representar pontos ou vetores em espaços de dimensão n.
- Espaço de dimensão n (Rn): O conjunto de todas as ênuplas ordenadas com n componentes.
- Operações vetoriais no espaço de dimensão n: Adição, subtração e multiplicação por escalar, realizadas componente a componente.
- Vetores bi, tri e n–dimensionais
- Norma, produto escalar e distância em
$R^n$ - Ortogonalidade
- A geometria de sistemas lineares
- Produto vetorial
- Quiz
Aproveito para compartilhar a solução do problema de uma prova
- 🎉 Lembre-se: O importante é praticar! 💪
- 📝 Faça os exercícios do livro recomendado 📘
- 🧠 Isso ajudará a fixar o conteúdo 🌟
- Espaço Euclidiano n-dimensional
- Transformações Lineares de
$R^n$ em$R^m$ - Propriedades das Transformações Lineares de
$R^n$ em$R^m$
Glossário de Termos-Chave
Glossário de Termos-Chave
Axiomas de Espaço Vetorial
-
Fechamento sob Adição: Se
$u$ e$v$ pertencem a$V$ , então$u + v$ também pertence a$V$ . -
Comutatividade da Adição:
$u + v = v + u$ -
Associatividade da Adição:
$(u + v) + w = u + (v + w)$ -
Existência do Vetor Nulo: Existe um vetor
$0$ em$V$ tal que$0 + u = u$ para todo$u$ em$V$ . -
Existência do Inverso Aditivo: Para cada
$u$ em$V$ , existe um vetor$-u$ em$V$ tal que$u + (-u) = 0$ . -
Fechamento sob Multiplicação por Escalar: Se
$a$ é um escalar e$u$ pertence a$V$ , então$au$ também pertence a$V$ . -
Distributividade da Multiplicação por Escalar em relação à Adição de Vetores:
$a(u + v) = au + av$ -
Distributividade da Multiplicação por Escalar em relação à Adição de Escalares:
$(a + b)u = au + bu$ -
Associatividade da Multiplicação por Escalar:
$a(bu) = (ab)u$ -
Identidade da Multiplicação por Escalar:
$1u = u$
Outros Termos
-
$\mathbb{R}^n$ : O espaço vetorial de todas as n-tuplas de números reais. - Sequência Infinita: Uma lista ordenada de números reais que continua indefinidamente.
- Vetor Nulo (ou Vetor Zero): O vetor em um espaço vetorial que, quando adicionado a qualquer outro vetor, não o altera.
- Linearmente Independente: Um conjunto de vetores em que nenhum vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores do conjunto.
- Linearmente Dependente: Um conjunto de vetores em que pelo menos um vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores do conjunto.
- Wronskiano: Um determinante usado para determinar a independência linear de um conjunto de funções.
- Coordenadas de um Vetor: Os escalares que multiplicam os vetores de base na representação única de um vetor como combinação linear dos vetores de base.
- Vetor de Coordenadas: O vetor formado pelas coordenadas de um vetor em relação a uma base específica.
- Dimensão Finita: Um espaço vetorial que possui uma base finita.
- Dimensão Infinita: Um espaço vetorial que não possui uma base finita.
-
Operador Linear (ou Transformação Linear): Uma função
$T: V \to W$ entre espaços vetoriais que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar:$T(u + v) = T(u) + T(v)$ $T(au) = aT(u)$
- Nulidade: A dimensão do núcleo de uma transformação linear.
- Posto: A dimensão da imagem de uma transformação linear.
- Espaços vetoriais reais
- Subespaços
- Independência linear
- Coordenadas e bases
- Dimensão
- Mudança de bases
- Espaço linha, espaço coluna e espaço nulo
- Posto, nulidade e os espaços matriciais fundamentais
- Transformações matriciais de
$R^n$ em$R^m$ - Propriedades das transformações matriciais
- A geometria de operadores matriciais de
$R^2$ - Quiz
- Autovalores e autovetores
- Diagonalização
- Quiz
- Segunda-feira, T2 e T3, na sala 203.
- Monitor: Arthur Tavares
Calendário de Provas
- P1: 15/10/09
- PF: 17/12/24
📝 Bons estudos e boa sorte! 🍀📐🔢