Rode o Script da pasta Database para criar o Banco, as tabelas e informações dela.
Abra a API e na pasta Properties > launchSettings.json mude o "applicationUrl" para seu endereço de IP local.
Caso não lembre seu IP ou não saiba onde encontrar, abra o Prompt de comando no modo Administrador e digite "ipconfig". Veja o endereço que estiver em "IPv4" e adicione ao projeto.
Logo em seguida vá na pasta Contexts > CampeonatoContext.cs e mude o "Server=localhost"; para o nome do seu servidor.
Abra o projeto Xamarin, e vá na pasta Helpers > Utils.cs e em client.BaseAddress = new Uri("http://localhost:5000/api/"); coloque seu endereço de IP local. Mude apenas o localhost.
Pronto, agora você pode rodar o projeto na sua máquina.