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数学函数的求值和求导
让你以十分优雅的方式构造数学表达式，并十分简单的实现对其求导。同时，借助对表达式树的求导功能可以实现一些简单的神经网络算法

例子运行

示例演示了如何通过神经网络实现异或分类，假设坐标原点在图像中心，x轴坐标和y轴坐标同号时(同为正或同为负)属于一类，异号时属于另一类 npm run dev

本地查看：localhost:3000

基本思路

任何复杂的数学表达式都可以用一张有向图来表示。比如通过使用“加操作”将表达式x和y连接起来得到表达式x + y。通过不断地嵌套可以构造出十分复杂的表达式树。树上的所有的节点分为两类
(1) 叶子结点
叶子节点不依赖于任何其他节点，相当于一个表达式中的自变量，如果一个叶子节点没有值，那么所有依赖于他的节点(因变量)都无法计算具体值。
(2) 非叶节点
非叶节点是依赖于其他节点而存在的，对于一个非叶节点，只有当他依赖的所有节点均有值时他才有可能有值当构造出这样一棵树后，我们就可以实现任意节点的求值。但是只有当一个节点依赖的所有叶节点都有值时这个结点的值才是可计算的。
同时利用复合函数求导法则，我们可以递归的实现图中任意节点对其他节点的求导。

关键类型

Node

Node表示表达式树上的节点，Node维护着节点的各种信息，如节点的操作类型(如加法, 减法...)。可以通过Node的value属性来获取节点的具体值可以通过toExpression方法来得到一个易读的数学表达式可以通过deriv方法实现当前节点对树上另一节点求导

PiecedNode

PiecedNode继承自Node，主要用来支持分段函数

生成一个变量

  //Node.varb用于生成变量
  const x = Node.varb('x');//可选参数'x'代表变量x的name，建议与变量名保持一致
  //Node.constant用于生成常量
  const const2 = Node.constant(2);//参数2代表常量的值（必选参数）

生成了变量后就可以对变量进行运算来得到更复杂的数学表达式了，变量的运算主要通过内置的一系列基本函数来实现。

求值

//提供的内置函数主要有：
{
  //一元函数
  sin,
  cos,
  arccos,
  arcsin,
  tan,
  ln,
  exp,
  neg,
  sigmod,
  tanh,
  square,
  //二元函数
  pow,//x^y
  add,
  minus,
  mul,//x*y
  div,//x/y
  log//log(x, y)
}
//z = 2x + 3y
const x = Node.varb('x');
const y = Node.varb('y');
const const2 = Node.constant(2);
const const3 = Node.constant(3);
const z = add(mul(const2, x), mul(const3, y));
/*
变量z依赖于x和y，所以当x和y都有值时，z.value才有值
x.value = 1;
y.value = 2;
z.value === 8;
改变x或y的值，z的值也会随之改变
x.value = 2;
z.value === 10;
*/

求导

const a = Node.varb('a');
const b = Node.varb('b');
const const1 = Node.constant(1);
const x = Node.varb('x');
const y = Node.varb('y');
const z = Node.varb('z');
const v = sum(mul(a, x), mul(b, y), mul(const1, z));//v = a*x + b*y + 1*z
//vt.deriv(x),既vt对x求偏导数
const vdx = v.deriv(x);
a.value = 1;
b.value = 2;
x.value = 3;
y.value = 4;
z.value = 2;
assert(vdx.value, 0.0000022603);
//当某一变量值改变后，导数的值也会改变。
a.value = 2;
assert(vdx.value, 2.2499997464e-7);

分段函数

分段函数使用PiecedNode类表示

  const a = new PiecedNode({
    pieces: [
      {
        range: '(-inf, 0]',
        exp: Node.constant(0)
      },
      {
        range: '(0, inf)',
        exp: x
      }
    ],
    rgVarb: x
  });

参数：

pieces

函数段，其中每个元素的结构是

  {
    range: '(-inf, 0]',
    exp: x
  }

range

分段的范围，-inf表示负无穷。(和) 表示开区间, [和]表示闭区间。range也可以是一个函数，根据传入的参数决定是否属于当前的分段，如range: (x) => (x > 2) 等价于 range: '(2, inf)'。

exp

分段使用的表达式，可以是一个普通函数，也可以是另一个分段函数

rgVarb

分段变量，表示依据哪个变量进行分段

性能

为了提高性能，图中每一个节点的value都只会在需要计算时才计算。如果一个节点的value已经计算过，再次访问这个节点的value属性时会返回上次的值。
那么就必须保证当前节点的某个依赖节点如果发生了值改变那么当前节点的值一定也会重新计算。
当改变某个节点的值时，会自动向上查找所有依赖这个节点的节点，并将其标记为dirty，那么下次访问这些的节点的value属性时就会重新计算。这样就可以保证没有任何不必要的计算。
对于一张很大的图，同时对多个叶子节点(自变量)的value进行赋值，那么上述操作就会执行多次，但是当上溯到某个节点并发现这个节点已经被标记为dirty时就会终止上溯，所以即便将所有的叶节点的value都改变，也不过是相当于把整个图遍历一遍。
tip: 在使用时要尽可能的避免对相同的表达式生成不同的节点。因为虽然这两个节点的值始终是一样的，但是这两个节点的值仍然会分开计算。

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