Otimização Combinatória é um ramo da ciência da computação e da matemática aplicada que estuda problemas de otimização em conjuntos finitos. Em um problema de otimização temos uma função objetivo e um conjunto de restrições, ambos relacionados às variáveis de decisão.
Grande parte dos problemas computacionais são de natureza discreta e envolvem a busca por uma solução atendendo certas propriedades, sendo que as possíveis alternativas crescem de forma combinatória. Um exemplo clássico é o problema de ordenação, onde se deseja encontrar uma permutação de uma sequência com ordenação não-decrescente. Além disso, problemas reais deste tipo tornam-se ainda mais complexos quando existe limitação nos recursos disponíveis e se quer otimizar alguma medida específica.
A maioria dos problemas relativos a ciência da computação podem ser representados com o auxilio de grafos. Grafos possuem nós e links entre eles e, no contexto de otimização, os fluxos de rede podem ser representados por esse tipo de estrutura. A otimização, em resumo, visa transportar os dados entre dois pontos com o menor custo possível e respeitando a capacidade máxima do que pode ser transportado entre esses pontos.
O problema do fluxo máximo é encontrar um fluxo em que a soma dos valores do fluxo para toda a rede seja a maior possível. Você quer transportar o material do nó 0 (a origem) para o nó 4 (o coletor). Os números ao lado dos arcos são as capacidades deles. A capacidade de um arco é a quantidade máxima que pode ser transportada por ele em um período fixo. As capacidades são as restrições para o problema.
"""From Taha 'Introduction to Operations Research', example 6.4-2."""
import numpy as np
from ortools.graph.python import max_flow
def main():
"""MaxFlow simple interface example."""
# Instantiate a SimpleMaxFlow solver.
smf = max_flow.SimpleMaxFlow()
# Define three parallel arrays: start_nodes, end_nodes, and the capacities
# between each pair. For instance, the arc from node 0 to node 1 has a
# capacity of 20.
start_nodes = np.array([0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3])
end_nodes = np.array([1, 2, 3, 2, 4, 3, 4, 2, 4])
capacities = np.array([20, 30, 10, 40, 30, 10, 20, 5, 20])
# Add arcs in bulk.
# note: we could have used add_arc_with_capacity(start, end, capacity)
all_arcs = smf.add_arcs_with_capacity(start_nodes, end_nodes, capacities)
# Find the maximum flow between node 0 and node 4.
status = smf.solve(0, 4)
if status != smf.OPTIMAL:
print("There was an issue with the max flow input.")
print(f"Status: {status}")
exit(1)
print("Max flow:", smf.optimal_flow())
print("")
print(" Arc Flow / Capacity")
solution_flows = smf.flows(all_arcs)
for arc, flow, capacity in zip(all_arcs, solution_flows, capacities):
print(f"{smf.tail(arc)} / {smf.head(arc)} {flow:3} / {capacity:3}")
print("Source side min-cut:", smf.get_source_side_min_cut())
print("Sink side min-cut:", smf.get_sink_side_min_cut())
if __name__ == "__main__":
main()O problema do custo minímo diz respeito a encontrar o fluxo com menor custo possível de transporte em cada arco. No problema de custo minimo existem tipos de nós especiais onde cada nó vai ter a função de demanda e fornecimento.
"""From Bradley, Hax and Maganti, 'Applied Mathematical Programming', figure 8.1."""
import numpy as np
from ortools.graph.python import min_cost_flow
def main():
"""MinCostFlow simple interface example."""
# Instantiate a SimpleMinCostFlow solver.
smcf = min_cost_flow.SimpleMinCostFlow()
# Define four parallel arrays: sources, destinations, capacities,
# and unit costs between each pair. For instance, the arc from node 0
# to node 1 has a capacity of 15.
start_nodes = np.array([0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4])
end_nodes = np.array([1, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 4, 2])
capacities = np.array([15, 8, 20, 4, 10, 15, 4, 20, 5])
unit_costs = np.array([4, 4, 2, 2, 6, 1, 3, 2, 3])
# Define an array of supplies at each node.
supplies = [20, 0, 0, -5, -15]
# Add arcs, capacities and costs in bulk using numpy.
all_arcs = smcf.add_arcs_with_capacity_and_unit_cost(
start_nodes, end_nodes, capacities, unit_costs
)
# Add supply for each nodes.
smcf.set_nodes_supplies(np.arange(0, len(supplies)), supplies)
# Find the min cost flow.
status = smcf.solve()
if status != smcf.OPTIMAL:
print("There was an issue with the min cost flow input.")
print(f"Status: {status}")
exit(1)
print(f"Minimum cost: {smcf.optimal_cost()}")
print("")
print(" Arc Flow / Capacity Cost")
solution_flows = smcf.flows(all_arcs)
costs = solution_flows * unit_costs
for arc, flow, cost in zip(all_arcs, solution_flows, costs):
print(
f"{smcf.tail(arc):1} -> {smcf.head(arc)} {flow:3} / {smcf.capacity(arc):3} {cost}"
)
if __name__ == "__main__":
main()https://developers.google.com/optimization/introduction/python?hl=pt-br https://developers.google.com/optimization/flow/mincostflow?hl=pt-br