Lasso-in-PyTorch

Why lasso can't produce sparse solution in pytorch

lasso = linear model + $\lambda *\ell_1$ regularization ，从compressed sensing角度，在design matrix X满足RIP时：$\ell_0=\ell_1$, 妥妥稀疏解。扩展到更复杂的模型$f(x)$ ，$f(x)+\ell_1$是否能够得到稀疏解？$f(x)$如果是多层神经网络，理论上不好分析，但感觉肯定可以，e.g., 不断调大$\lambda$。

在pytorch试图实现lasso regression $y= X\beta + \epsilon$. 然而$\hat \beta$ 不稀疏，咋调$\lambda$都没用！！！

分析：pytorch 是用SGD 优化，SGD不可以直接求解lasso, 在0点处绝对值函数不可导。

**结论：**它是直接求的，$\beta^{k+1} = \beta^{k} +\eta\cdot X^T(y-X\beta^k) + \lambda sgn(\beta^k)$ .

这种求法被叫做 SGD-L1 naive，导致了$\beta^{k+1}$ 几乎不会严格等于0，可能在0附近震荡。

一个自然的想法：SGD-L1 clipping，每一次梯度更新后对参数做 soft-threshold.

python sklearn SGD regressor就是这么干的：the update is truncted to 0 to allow for learning sparse models

给一篇参考文献：Stochastic Gradient Descent Training for L1-regularized Log-linear Models with Cumulative Penalty。

Example

产生真实的beta, sample size n = 100, dim p =10, 前两个系数为10,10，第三个第四个是-10，其它为0.

np.random.seed(5)
n = 100
p = 10
beta = np.zeros([p]).astype(np.float32)
beta[0] = 10
beta[1] =10
beta[2] = -10
beta[3] =-10
X = np.random.rand(n,p).astype(np.float32)
Y = np.dot(X,beta)
a = torch.from_numpy(X)
b = torch.from_numpy(Y.reshape(-1,1))

SGD-L1 naive

可以看到，前四个变量估计的不错，分别在+10和-10附近，和sklearn的lasso结果也很接近。后6个变量的系数非常小，对prediction应该影响不大，但是没有exactly 等于0，所以不是稀疏解
SGD-L1 clipping

三个结果，第一个SGD-L1 clipping, 可以看到，后6个变量系数exactly 被压缩到0了，第三个结果是 sklearn SGDRregressor方法，它用的是参考文献中的clipping方式，效果会好一点，但改进不大了，而且也没有什么理论支持。

Summary

L1 regularization在PyTorch中，SGD无法直接产生稀疏解，需要每一次参数更新后做soft-threshold.
code放到了我的github，有需要的朋友可自取(并点个star)

sanyouwu/Lasso-in-PyTorch

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Example

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