旅行商问题（最短路径问题）（英语：travelling salesman problem, TSP）是这样一个问题：给定一系列城市和每对城市之间的距离，求解访问每一座城市一次并回到起始城市的最短回路。它是组合优化中的一个NP困难问题，在运筹学和理论计算机科学中非常重要。
商旅问题在组合优化中是 NP-hard问题；
关于 P、NP、NP-hard、NP-C问题，做了如下总结；
-
P问题：计算时间与计算复杂度/样本成倍数关系；
-
NP问题：计算时间与复杂度/样本成指数关系（复杂度/样本量越大，计算量/时间越大）； 或目前上，无法对其做一般性的归纳总结，如百度百科找出最大质数问题等等；
本人了解的 NP问题 更多的是 探讨计算时间与复杂度/样本成指数关系；
-
NP-hard问题：简单的示例是子集集合问题，是在 N=NP 条件下，NP问题 是 NP-hard问题 的子集；
-
NP完全问题：满足 NP问题 和 NP-hard 问题，在特定条件下，众多 NP问题 可归纳为某一类 NP问题，解决了归纳的 NP问题，就解决了该集合内的所有 NP问题；
商旅问题（travelling salesman problem, tsp）在给定的城市列表情况下，寻找一条最短且有效的路径是巨大挑战的，因为：
- 10个候选城市且从同一个地方出发（有固定起点）有
$(10 - 1)! = 9 \times 8 \times ... \times 1 = 362880$ 种路径方案，若路径无顺序之分（a-b-c与c-b-a属同一种路径方案）则有 362880/2 = 181440 种路径方案； - 假如候选城市达到15个，以有固定起点方案计算，路径方案高达870亿种，即使以无顺序方式计算，仍有435亿种；
若，候选城市15个，采用暴力方式搜索，如下图所示，即使每秒搜索100万次，也要超过12小时不间断的搜索，才能搜索到最佳路径，这个在算法上是“不可接受的事”，平常中基本上没有人会为等机器反馈结果，而等上12个小时，除非等人，在平常等待机器反馈结果，可忍受时间是3秒左右；
因此，需要一种搜索算法，在候选城市30个内，计算时间是秒级的，甚至可以牺牲最优路径，在规定的时间内，搜索到全局最优或接近于全局最优的解；
上文讲到 商旅问题在组合优化中是 NP-hard问题，而 蚁群算法（Ant Colony Algorithm）是解决 NP问题 的一种选择方法；
关于商旅问题更详细的说明，请阅读
蚁群算法的原理和实现基于：蚁群算法原理及其应用1
蚁群算法（Ant Colony Algorithm） 最开始由意大利学者通过观察蚂蚁觅食，得到的仿生算法；
仿生算法：蚁群算法、遗传算法、粒子群算法等；
当一只蚂蚁寻找到食物，返回蚁巢呼叫群体，为什么蚁群从洞穴出发搬运食物，总能找到一条蚁巢与食物之间的最优路径？
因为在自然界中，蚂蚁会分泌一种化学刺激物 —— 信息素（pheromone）；
蚂蚁在移动过程中，能够在其经过的路径上留下 信息素，且蚁群内能感知到这种物质的存在及其强度，并以此指导自己行走的方向，蚂蚁更倾向于 信息素浓度高 的方向移动；
在同等的时间内蚁群在搬运食物过程中，越短的路径上留下的 信息素 就越多多，则后续搬运中，最短路径的蚂蚁越来越多（如上图蚁群觅食的“双桥”实验）；
本文所说“最短路径”，并非一定是路程最短的路径，而是接近于全局最优的“最短路径”；
所以，在商旅问题（tsp）中，可以模拟蚂蚁在两两城市之间所留下信息素，来搜索最短路径，且最短路径是一个有向图（Directed Acyclic Graph，DAG）（或有向环图），如下图；
假设，蚁群从洞穴A点出发，到达食物F点，三条路径（A-C-E-D-F、A-B-D-F和A-B-C-E-D-F）均有相同数据量蚂蚁访问； 设：
- A-C-E-D-F路径长度为$L_1$、A-B-D-F路径长度为$L_2$和A-B-C-E-D-F路径长度为$L_3$；
- 三条路径访问蚂蚁数各为1，即
$n_{L_1}=n_{L_2}=n_{L_3}=1$ ； - 初始化城市之间的信息素相同（如，初始化为1），那么每个节点被访问的概率是相同的（如，A点出发，B、C点被选择的概率均为0.5）；
那么，三条路径，三只蚂蚁访问后，每个节点留下的信息素如下：
-
A-C有一只蚂蚁访问，留下信息素为$\dfrac{1}{L_1}\times n_{L_1}=\dfrac{1}{20} \times 1 = 0.05$
-
A-B有两只蚂蚁访问，留下信息素为$\dfrac{1}{L_2}\times n_{L_2} +\dfrac{1}{L_3}\times n_{L_3} =\dfrac{1}{25} \times 1 + \dfrac{1}{27} \times 1 = 0.077$
-
B-C有一只蚂蚁访问，留下信息素为$\dfrac{1}{L_3}\times n_{L_3}=\dfrac{1}{27} \times 1 = 0.037$
-
B-D有一只蚂蚁访问，留下信息素为$\dfrac{1}{L_2}\times n_{L_2}=\dfrac{1}{25} \times 1 = 0.04$
-
C-E有两只蚂蚁访问，留下信息素为$\dfrac{1}{L_1}\times n_{L_1} +\dfrac{1}{L_3}\times n_{L_3} =\dfrac{1}{20} \times 1 + \dfrac{1}{27} \times 1 = 0.087$
-
E-D有两只蚂蚁访问，留下信息素为$\dfrac{1}{L_1}\times n_{L_1} +\dfrac{1}{L_3}\times n_{L_3} =\dfrac{1}{20} \times 1 + \dfrac{1}{27} \times 1 = 0.087$
-
D-F有三只蚂蚁访问，留下信息素为$\dfrac{1}{L_1}\times n_{L_1} + \dfrac{1}{L_2}\times n_{L_2} + \dfrac{1}{L_3}\times n_{L_3} =\dfrac{1}{20} \times 1 + \dfrac{1}{25} \times 1 + \dfrac{1}{27} \times 1 = 0.127$
有了信息素，在下一个单位时间内，每一只蚂蚁访问的节点，可进行赌轮盘选择，如从A点出发，B、C点被选择的概率为：$\dfrac{0.077}{0.05+0.077}=0.61$、$\dfrac{0.05}{0.05+0.077}=0.39$，以此类推；
我们发现一个问题，最优路径是A-C-E-D-F，而A点出发，B点被选择的概率远大于C点被选择的概率，因此计算信息素时就要加入两个城市之间的距离信息
接下来就是更新信息素，更新方式和凸优化相同，采用学习率的方式更新，只不过蚁群算法的学习率（$\rho$）设的比较大，一般设置为0.5，A-C初始化的信息素为1，第一个单位时间内该路径被蚂蚁访问过并留下信息素为0.05，那么A-C的信息素为：$(1-0.5) * 1 + 0.05 = 0.55$，A-B的信息素为：$(1-0.5) * 1 + 0.077 = 0.577$，以此类推；
至此，蚁群算法做了简略的数值讲解，接下来将对蚁群算法做出详细定义和实现；
对此做如下定义；
定义 TSP ：在给定 n 个城市中，从指定起点（一般情况下商旅问题存在固定起点）城市出发，访问依次每个城市一次（访问不重复不遗漏）；
-
设 C 是 n 个城市的集合，如下；
$C={c_1, c_2, ..., c_n}$ -
城市 $c_i$ 与 城市 $c_j$ 之间的距离记
$d_{ij}$ ，距离可用欧式距离（Euclidean）计算得到，如下；$d_{ij} = \sqrt{(x_i-x_j)^2 + (y_i - y_j)^2}$ -
信息素（pheromone）状态转移概率计算方式如下； $$\rho_{ij}^k(t) = \begin{cases} \dfrac{[\tau_{ij}(t)]^\alpha\cdot [\eta_{ik}(t)]^\beta}{\sum\limits_{s \subset allowed_k}[\tau_{is}(t)]^\alpha\cdot [\eta_{is}(t)]^\beta} & \text{ 若 } j \in allowed_k \ 0 & \text{ 否则 } \end{cases}$$
-
$allowed_k$ 表示蚂蚁k下一步允许选择的城市； -
$\alpha$ 为信息启发式因子（常量），表示轨迹的相对重要性； -
$\beta$ 为期望启发式因子（常量），表示能见度的相对重要性； -
$\eta_{ij}$ 启发函数（适应度评分函数），与距离成反比，一般性定义：$\eta_{ij} = \dfrac{1}{d_{ij}}$，$d_{ij}$表示两个城市之间的距离，因此$[\eta_{ik}(t)]^\beta$ 是一个常量；
-
-
$\tau$ 更新策略，如下； $$\begin{align*} \tau_{ij}(t+n) &= (1-\rho) \cdot \tau_{ij}(t) + \Delta\tau_{ij}(t) \ \Delta\tau_{ij}(t) &= \sum\limits_{k=1}^{m}\Delta\tau_{ij}^k(t) \end{align*}$$-
$\rho$ 表示信息素挥发系数，$1-\rho$ 表示信息素残留因子，$\rho \subset [0, 1)$；
-
-
$\Delta\tau_{ij}$ 表示第 k 只蚂蚁在本初循环留在路径 (i, j) 上的信息量，其中$\Delta\tau_{ij}(0)=0$ （初始时刻）； -
$\Delta\tau_{ij}$ 更新策略，如下；-
Ant-Cycle模型 $$\Delta\tau_{ij}^k(t) = \begin{cases} \dfrac{Q}{L_k} & \text{ 若第k只蚂蚁在本次循环中经过(i,j) } \ 0 & \text{ 否则 } \end{cases}$$
-
Ant-Quantity模型 $$\Delta\tau_{ij}^k(t) = \begin{cases} \dfrac{Q}{d_{ij}} & \text{ 若第k只蚂蚁在 t 和 t+1 之间经过(i,j) } \ 0 & \text{ 否则 } \end{cases}$$
-
Ant-Density模型
$$\Delta\tau_{ij}^k(t) = \begin{cases} \dfrac{Q}{1} & \text{ 若第k只蚂蚁在 t 和 t+1 之间经过(i,j) } \ 0 & \text{ 否则 } \end{cases}$$
-
$Q$ 信息强度（常量）； -
$L_k$ 表示第 k 只蚂蚁在本次循环中所走路径的总长度 -
$d_{ij}$ 表示 城市 i 到 城市 j 的距离；
-
-
1、tsp数据源主要来自于：TSPLIB；
2、Ant-Density模型由于分母是1，因此在实现中，忽略了该模型；
3、采用python的numpy实现；
| 城市数 | 路径图 | 最优路径走势图 |
|---|---|---|
| a280 |  |
 |
| ch130 |  |
 |
| ch150 |  |
 |
| rd400 |  |
 |
| pr299 |  |
 |
| 城市数 | 路径图 | 最优路径走势图 |
|---|---|---|
| a280 |  |
 |
| ch130 |  |
 |
| ch150 |  |
 |
| rd400 |  |
 |
| pr299 |  |
 |
Ant-Cycle模型和Ant-Quantity模型耗时统计
| 城市数（去重） | Ant-Cycle模型耗时（单位：秒） | Ant-Quantity模型耗时（单位：秒） |
|---|---|---|
| 14 | 0.169 | 0.131 |
| 16 | 0.163 | 0.127 |
| 17 | 0.185 | 0.131 |
| 22 | 0.169 | 0.147 |
| 27 | 0.322 | 0.223 |
| 29 | 0.26 | 0.26 |
| 42 | 0.546 | 1.253 |
| 48 | 0.846 | 0.753 |
| 49 | 0.616 | 0.521 |
| 51 | 1.068 | 0.996 |
| 52 | 0.746 | 1.217 |
| 53 | 1.082 | 0.672 |
| 57 | 1.227 | 0.775 |
| 70 | 1.939 | 1.227 |
| 76 | 2.423 | 1.999 |
| 96 | 2.774 | 2.661 |
| 99 | 5.789 | 7.506 |
| 100 | 4.417 | 3.836 |
| 101 | 7.747 | 4.335 |
| 105 | 6.553 | 3.456 |
| 107 | 8.121 | 3.7 |
| 120 | 10.86 | 5.95 |
| 124 | 6.029 | 8.537 |
| 127 | 6.488 | 12.371 |
| 130 | 6.928 | 6.88 |
| 136 | 7.716 | 11.108 |
| 137 | 6.795 | 10.075 |
| 144 | 11.532 | 7.414 |
| 150 | 13.865 | 11.939 |
| 152 | 11.445 | 11.888 |
| 159 | 22.105 | 11.59 |
| 195 | 16.684 | 16.328 |
| 198 | 42.924 | 32.777 |
| 200 | 32.316 | 45.198 |
| 202 | 30.745 | 23.205 |
| 225 | 46.248 | 36.723 |
| 226 | 54.407 | 47.803 |
| 229 | 32.636 | 66.762 |
| 262 | 74.31 | 53.994 |
| 264 | 43.133 | 39.101 |
| 280 | 94.898 | 120.658 |
| 299 | 108.203 | 60.459 |
| 318 | 152.503 | 114.811 |
| 400 | 311.058 | 224.999 |
| 417 | 238.785 | 310.78 |
| 431 | 224.9 | 238.356 |
| 439 | 427.962 | 392.967 |
| 442 | 400.314 | 323.85 |
| 493 | 885.625 | 464.68 |
Ant-Cycle模型和Ant-Quantity模型路径长度统计
| 城市数 | Ant-Cycle模型 | Ant-Quantity模型 |
|---|---|---|
| a280 | 2870.8 | 2916.2 |
| att48 | 34405.3 | 34901.9 |
| bayg29 | 8926.1 | 8914.5 |
| bays29 | 8830.1 | 8968.7 |
| berlin52 | 7631.9 | 7573.1 |
| bier127 | 118559.2 | 119056.5 |
| burma14 | 27.2 | 27.6 |
| ch130 | 6448.6 | 6429.2 |
| ch150 | 6793.6 | 6785.4 |
| circuit_board280 | 2854.1 | 2893.8 |
| d198 | 14017.3 | 13943.0 |
| d493 | 35589.7 | 36363.7 |
| dantzig42 | 657.0 | 686.5 |
| eil101 | 701.9 | 691.1 |
| eil51 | 437.5 | 443.8 |
| eil76 | 549.3 | 559.9 |
| fl417 | 12896.2 | 12729.0 |
| gil262 | 2559.9 | 2544.2 |
| gr120 | 1757.6 | 1759.8 |
| gr137 | 758.4 | 769.1 |
| gr202 | 477.2 | 501.2 |
| gr229 | 1731.3 | 1701.8 |
| gr431 | 2127.7 | 2128.4 |
| gr96 | 528.6 | 518.4 |
| kroA100 | 22688.9 | 22913.0 |
| kroA150 | 29051.7 | 29045.0 |
| kroA200 | 31110.8 | 31447.3 |
| kroB100 | 22490.1 | 23133.6 |
| kroB150 | 28138.4 | 28080.5 |
| kroB200 | 32185.0 | 32475.7 |
| kroC100 | 21552.5 | 21250.5 |
| kroD100 | 22505.8 | 22594.4 |
| kroE100 | 23372.3 | 23728.1 |
| lin105 | 15071.5 | 15122.3 |
| lin318 | 95059.0 | 94520.1 |
| pcb442 | 59020.5 | 58710.4 |
| pr107 | 39059.3 | 38745.6 |
| pr124 | 61598.9 | 62496.0 |
| pr136 | 106640.3 | 109443.4 |
| pr144 | 59321.7 | 59033.4 |
| pr152 | 67871.6 | 67800.8 |
| pr226 | 80226.7 | 81795.0 |
| pr264 | 49895.7 | 48859.2 |
| pr299 | 53071.6 | 53673.1 |
| pr439 | 116797.0 | 115405.9 |
| pr76 | 115420.6 | 115456.5 |
| rat195 | 2446.2 | 2493.7 |
| rat99 | 1284.7 | 1293.8 |
| rd100 | 8567.7 | 8492.5 |
| rd400 | 17218.0 | 17141.8 |
| st70 | 704.0 | 704.7 |
| ts225 | 132417.8 | 131921.0 |
| tsp225 | 4186.2 | 4157.7 |
| u159 | 44469.2 | 44433.3 |
| ulysses16.tsp | 55.1 | 57.9 |
| ulysses22.tsp | 57.4 | 57.2 |
- 在调参上，基本参考 蚁群算法原理及其应用1；
- 设置了早熟停止迭代，因此可能出现城市数与耗时不成正比的情况；
- Ant-Cycle模型耗时比Ant-Quantity模型耗时短，但Ant-Quantity模型更容易陷入局部最优值，所以，更容易出发早熟停止迭代机制（本文未提供结果对比说明，感兴趣的同学，可以利用提供的源码自行验证）；
Ant-Cycle模型信息素的更新是以整条路径
$L_k$ 为基础，路径中的某段路长短不影响其路径的信息素计算； Ant-Quantity模型信息素的更新是以路径中的某段路$d_{ij}$ 为基础，整条路径长短不影响其路径的信息素计算； Ant-Cycle模型处理“病态问题”2（P113）比Ant-Quantity模型优，因为Ant-Cycle模型信息素的计算是不受路径中的某段路长短的影响，但现实中很少有这种奇怪性质的“病态问题”； - 算法实现是比较粗糙的，如最后评价函数应该是：模型寻优次数+寻优迭代步数+运行时间，因此关于细节方面，感兴趣的同学可详读下文提供的参考文献；
- 蚁群算法在性能和局部寻优能力，远胜于遗传算法，上文提到，寻优30个候选城市耗时要求是3秒（同事使用Scala10个线程），而本人利用python实现的蚁群算法寻优90个候选城市耗时也不到3秒，但工业应用上使用遗传算法远高于蚁群算法（本人了解的），主要是因为遗传算法拥有超强的扩展性灵和活性强，使得其应用非常广泛：函数优化、组合优化、生产调度、自动控制、机器人学、图像处理、人工生命、遗传编程、机器学习等，就其路径规划根据染色体交叉方式不同得到不同启发式遗传算法：单点交叉、双点交叉、均匀交叉、匹配交叉、顺序交叉、循环交叉、贪婪式交叉、旋转交叉、混合蛙跳3、DPX4等等，数不胜数； 其中贪婪式交叉、旋转交叉、混合蛙跳、DPX本人均实现过，性能远不及蚁群算法，寻优能力与蚁群算法略差，而且遗传算法组合能力是非常强的，比较容易跳出局部最优值，因此个人认为寻优能力上启发式遗传算法略胜一筹（仍在研究中），但启发式遗传算法需要有非常强和广的相关知识，不易实现，这可能就是本人实现启发式遗传算法不如蚁群算法优的原因（ps，在路径规划专项任务下，还是蚁群算法简单好用，易于实现）；
- 蚁群算法容易陷于局部最优值（下图），A、B、C均为局部最优值，假设B点为全局最优； 若蚁群算法根据信息素从O点到达A点时，可能是无法跳出局部最优，因为蚁群在t时刻游走的路线受t-1时刻信息素的限制，而t-1时刻游走的线路受t-2时刻信息素的限制等等，因此t时刻要想跳出局部最优值A点，很难通过调参解决，这也可以解析每一次蚁群算法跑出来的结果有差异，且根据路径图做前后对比的话，每次结果路径可能有明显差异，遗传算法也有类似情况（但比较稳定）； 第5点提到，启发式遗传算法比较容易跳出局部最优值，是因为启发式遗传算法中的适应度越高的染色体交叉属于局部搜索（即在A区域内搜索），适应度一般的染色体可能在鞍点或C点，其交叉可能就是全局搜索，关键就是如何设置适应度高的染色体交叉和适应度较高、一般染色体交叉，太过于随机，则会降低收敛速度，还有一个关键点就是在染色体交叉后如何保留种群的多样性，详看请看参考文献2； 启发式，根据优化目标调整算法或多算法组合，蚁群算法根据优化目标调整算法可能性不大，不可能把蚂蚁调整为会飞，那就是粒子群算法了，多算法组合是蚁群算法的一个优化方向，如模拟退火+蚁群算法、爬山算法+蚁群算法，模拟退火和爬山算法跳出局部最优值的好帮手，而且计算快，算法组合后，性能受影响小，笔者用类似的方法解决了背包问题+商旅问题；
参考文献：