Дисклеймер! Более красивая версия находится в файле rossler.html

Аттрактор Рёсслера

Аттрактор Рёсслера – хаотический аттрактор для системы Рёсслера, системы нелинейых дифференциальных уравнений, предложенных Отто Рёсслером. Система задается следующими уравнениями:

$\left\{{\begin{matrix}{\frac {dx}{dt}}=-y-z\\{\frac {dy}{dt}}=x+ay\\{\frac {dz}{dt}}=b+z(x-c)\end{matrix}}\right.$

a, b, c – параметры. При определенных параметрах, система проявляет хаотический характер. Сам Рёсслер изучал хаотический аттрактор с параметрам $a=0.2,\ b=0.2, \ c=5.7$ , однако позднее стали чаще использовать параметры $a=0.1,\ b=0.1, \ c=14$ . Аттрактор Рёсслера придумали с целью найти систему, которая ведет себя также как аттрактор Лоренца, но которую проще качественно анализировать. В результате так и оказалось, аттрактор Рёсслера можно считать минимальным по трем причинам: его фазовое пространство – 3 (что минимально для хаотической динамики), нелинейность в нем минимальна (только одно квадратичное слагаемое) и траектория аттрактора имеет одну долю (в то время как аттрактор Лоренца имеет две).

Пример хаотичности:

Анализ

Во первых, стоит отметить, что при a < 0 система сходится в конкретную точку.

При параметрах $a=b=0,\ 2.6\leq c\leq 4.2$ система обладает устойчивым предельным циклом.

Далее мы будем рассматривать вариант с $a=0.2,\ b=0.2, \ c=5.7$ .

Некоторые свойства аттрактора Рёсслера можно исследовать с помощью линейных методов, например собственных векторов, но для основных свойств потребуются нелинейные методы, такие как отображение Пуанкаре и бифуркации.

Заметим, что при пропадает нелинейность в уравнениях и система приобретает вид:

${\begin{cases}{\frac {dx}{dt}}=-y\\{\frac {dy}{dt}}=x+ay\end{cases}}$

Мы можем найти собственные значения с помощью якобиана ${\begin{pmatrix}0&-1\\1&a\\\end{pmatrix}}$ , которые равны ${\displaystyle (a\pm {\sqrt {a^{2}-4}})/2}(a\pm {\sqrt {a^{2}-4}})/2$ . Отсюда можно заметить, что при $0<a<2$ собственные значения комплексные с положительной вещественной частью, поэтому траектория является нестабильной и отталкивается по спирали от центра. Если вернутся к исходной системе, то когда становится больше , начинает расти, соответственно уменьшая . Таким образом происходит постоянный переход с горизонтальной "плоскости" на вертикальную, причем можно сказать, что параметр регулирует ширину нижней спирали.

Неподвижные точки

Найдем особые точки системы. Для этого приравняем уравнения к нулю и решим систему:

${\begin{cases}x={\frac {c\pm {\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2} = 0}\\y=-\left({\frac {c\pm {\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right) = 0\\z={\frac {c\pm {\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a} = 0}\end{cases}}$

Соответсвующие векторы неподвижных точек:

$\left({\frac {c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2}},{\frac {-c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}},{\frac {c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right) \\ \left({\frac {c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2}},{\frac {-c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}},{\frac {c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)$

Как видно на графике, одна из этих точек находится в центре аттрактора, другая же отдалена от него.

Собственные значения

Анализировать каждую из этих неподвижных точек можно с помощью собственных векторов и собственных значений. Запишем якобиан для всей системы:

${\begin{pmatrix}0&-1&-1\\1&a&0\\z&0&x-c\\\end{pmatrix}}$

Для нахождения собственных значений решим уравнение:

$-\lambda ^{3}+\lambda ^{2}(a+x-c)+\lambda (ac-ax-1-z)+x-c+az=0\,$

Подставляя стандартные параметры ( $a=0.2,\ b=0.2, \ c=5.7$ ), находим собственные значения для центральной неподвижной точки:

$\lambda _{{1}}=0.0971028+0.995786i\, \\ {\displaystyle \lambda _{2}=0.0971028-0.995786i\,}\, \\ {\displaystyle \lambda _{3}=-5.68718\,}$

C соответствующими собственными векторами:

$v_{{1}}={\begin{pmatrix}0.7073\\-0.07278-0.7032i\\0.0042-0.0007i\\\end{pmatrix}} \\ v_{{2}}={\begin{pmatrix}0.7073\\0.07278+0.7032i\\0.0042+0.0007i\\\end{pmatrix}} \\ v_{{3}}={\begin{pmatrix}0.1682\\-0.0286\\0.9853\\\end{pmatrix}}$

На графике выше изображено действие собственных векторов. Векторы отвечают за постепенное расширение спирали, вектор отвечает за движение вверх. Фиолетовая линия – траектория движения в обратном времени от точки, отложенной на над неподвижной точкой. Эта линия показывает, что происходит с траекториями, на которые сильно действует вектор . По этой линии можно судить о притягивающем влиянии , отталкивающем влиянии и их совместном действии.

На всякий случай посмотрим на фазовый портрет, хотя по графику и собственным значениям видно, что это особая точка является устойчивым фокусом:

Вторая неподвижная точка лежит далеко от траектории аттрактора, ее влияние незначительно, поэтому не будем на ней останавливаться.

Отображение Пуанкаре

Для анализа хаотической динамики используется отображение Пуанкаре. Для этого фиксируется плоскость и запоминаются события прохождения траектории через эту прямую. Посмотрим на различные плоскости для аттрактора Рёсслера.

Обычно в качестве разделяющей плоскости берут плоскости, проходящие через оси. Для аттрактора Рёсслера брать плоскость не имеет смысла, так как почти все нижнее движение по спирали лежит в этой плоскости.

С нашим набором параметров, брать плоскость также не имеет смысла так, как она пересекает только нижнюю спираль:

Рассмотрим плоскость :

Построим график зависимости от . График отображает убывание с ростом , собственно так и происходит, зависимость сохраняется, если посмотреть на траекторию всей системы.

Конкретно с такой разделяющей плоскостью получается бесконечное число точек в отображении Пуанкаре, однако при изменении параметра количество точек может меняться, например при будет всего 6 точек, так как траектория циклична:

Диаграммы бифуркации

Диаграммы бифуркации используются для оценки влияния изменения параметров на систему. Для построения, изменяется одна переменная, а остальные фиксируются, затем строится график предела траектории (то есть последние несколько точек при $t \to \infty$ ). В этой статье рассматривалось влияние каждого параметра на каждое измерение системы.
*Правильность метода не гарантируется

В любом случае, можно сделать вывод, что система ведет неподвижно, периодично, квазипериодично и хаотично в зависимости от параметров.

Применение в науке

В основном аттрактор Рёсслера используется в качестве простой модели для обоснования хаоса в непрерывном времени, а также служит прототипом для большинства систем с хаотическим характером, особенно в химии.

Так например, аттрактор Рёсслера применялся в исследовании хаоса в далекой от равновесия химической кинетике (Ruelle 1973, Rössler 1976b, 1977b, Rössler & Wegmann 1978). Рёсслер и Вегманн предложили следующую схему химических реакций:

в которой шаги 1 и 5 являются каталитическими, шаг 2 автокаталитический. Виды находились фиксированными в больших резервуарах, в результате чего система не была в термодинамическом равновесии. Временная зависимость для видов была получена взятием производной закона действующих масс, эти уравнения имели квадратичные нелинейности. Соответственно схема на графике (b) приводит к аттрактору некоторой системы на графике (a):

Поведение системы на графике схоже с поведением аттрактора Рёсслера, это позволяет привести физическое, механическое обоснование процесса.

Бонус

Анимация траектории аттрактора Рёсслера с примером хаотичности

Визуализатор построения траектории

troubleshooter495/rossler-attractor