/NumericalMethodsSPbU

Реализация на Python, Java, C++ всех лабораторных работ к курсу численных методов ПМ-ПУ СПбГУ, 2-3 курсы.

Primary LanguageJupyter Notebook

2 курс

[1] Градиентный спуск

Реализация градиентного спуска на $\textcolor{orange}{\texttt{Python}}$

  1. Наискорейший покоординатный и
  2. наискорейший градиентный спуски.

[2] Вычисление погрешностей

Реализация на $\textcolor{blue}{\texttt{C++}}$

  1. Разложение разных функций через ряд Тейлора
  2. Вычисление корня через формулы Герона
  3. В $\LaTeX$-овском $\texttt{pdf}$ лежат вычисления погрешностей

[3] Численное решение систем уравнений

Численные методы решения систем уравнений. Код написан на $\textcolor{red}{\texttt{Java}}$

  1. Метод Зейделя
  2. LU-разложение
  3. QR-разложение
  4. Метод простых итераций

[4] Метод Ньютона решения уравнений

  1. Нелинейные уравнения
  2. Системы нелинейных уравнений
  3. LU-разложение для решения вспомогательной СЛАУ в методе Ньютона

3 Курс

Весь код для задачек ниже написан на $\textcolor{orange}{\texttt{Python}}$

[1] МНК

  1. Аналитическое решение МНК через нормальные уравнения
  2. Вычисление ошибки аппроксимации полиномами разной степени
  3. Построение ортогональных полиномов
  4. Сравнение указанных подходов

[2] Интерполяция

  1. Многочлены Лагранжа, Ньютона
  2. Сплайны линейные
  3. Сплайны квадратичные
  4. Сплайны кубические

В каждом подходе считаем и по равноотстоящим узлам, и по оптимальным узлам Чебышева. Производится также подсчет отклонений

[3] Интегрирование

Вычисление интегралов с помощью формул Ньютона-Котеса и квадратурной формулы Гаусса

  1. Интерполяционная квадратурная формула (ИКФ) с равноотстоящими узлами — ИКФ Ньютона—Котеса
  2. Квадратурная формула наивысшей алгебраической степени точности (КФНАСТ), или ИКФ Гаусса
  3. Также есть формулы Симпсона, трапеций, левых и средных прямоугольников, но они не особо интересные

Вычисление погрешностей интегрирования

  1. Метод Ричардсона
  2. Метод Рунге (частный случай формулы Ричардсона)

[4] Решение задачи Коши для систем ОДУ (СОДУ) методом Рунге-Кутты

Методы решения

  1. Решение задачи Коши с помощью явного метода Рунге-Кутты 2 порядка (ЯМРК 2): с постоянным и автоматически выбираемым шагом
  2. Решение задачи Коши с помощью ЯМРК 4 в качестве схемы-оппонента: с постоянным и автоматически выбираемым шагом

Анализ результатов

  1. Зависимость нормы точной погрешности в конце отрезка от шага $h=2^{-k}$, $k=\overline{1,\dots}$
  2. Подборка оптимального постоянного шага для ЯМРК 2, ЯМРК 4
  3. Зависимость точной полной погрешности от независимой переменной $x$ в случае с постоянным шагом
  4. Поиск начального шага
  5. Рассчет оценки локальной погрешности методом Рунге
  6. Рассчет оценки полной погрешности методом Рунге
  7. Автоматический выбор шага интегрирования для ЯМРК 2, ЯМРК 4
  8. Зависимость длины шага от независимой переменной
  9. Количество обращений к правой части СОДУ и зависимость числа обращений от задаваемой точности $\varepsilon$
  10. Проверка условия на попадание в граничную точку $x_1$ интервала интегрирования $[x_0, x_1]$