Logistic Regression

数据

使用的数据集是UCI a9a。

Link: http://ml.cs.tsinghua.edu.cn/~wenbo/data/a9a.zip

数据集分为训练集（32,561）和测试集（16,281），每一行的格式为

Label [feature id]:[feature] [feature id]:[feature] [feature id]:[feature] [feature id]:[feature]

其中默认只包含为1的列，feature总列数为123，如下例所示：

-1 3:1 11:1 14:1 19:1 39:1 42:1 55:1 64:1 67:1 73:1 75:1 76:1 80:1 83:1
-1 5:1 7:1 14:1 19:1 39:1 40:1 51:1 63:1 67:1 73:1 74:1 76:1 78:1 83:1
-1 3:1 6:1 17:1 22:1 36:1 41:1 53:1 64:1 67:1 73:1 74:1 76:1 80:1 83:1
...

dataloader.py包含了读取数据的load(filename)方法，可以读取一个这种格式的a9a数据文件。

梯度上升法

gd.py实现了梯度上升法求解Logistic Regression。

依赖库：

numpy

代码文件的使用方法：

$ python gd.py -h
usage: gd.py [-h] [--data DATA] [--lr LR] [--patience PATIENCE]
             [--output OUTPUT]

Using gradient descent to solve logistic regression.

optional arguments:
  -h, --help           show this help message and exit
  --data DATA          Directory of the a9a data.
  --lr LR              Learning rate.
  --patience PATIENCE  Patience to stop.
  --output OUTPUT      Output log-likelihood and accuracy during training to
                       pickle file.

代码运行完成后，会输出一个pickle文件，包含训练过程中对数似然和测试集上正确率的变化，用于画图。

测试了lr=0.001, 0.01, 0.05, 0.1四种情况，最优正确率如下表：

lr	test acc
0.001	0.999386
0.01	0.999447
0.05	0.999324
0.1	0.999447

四种学习率的测试集正确率和对数似然变化如下图：

可以看出：

四种学习率的最优正确率相似，但学习率越小，收敛越快
学习率越大，计算出的对数似然越小，以至于lr=0.1, 0.05时对数似然向下溢出了；这可能和w有多种表示相关

梯度上升法对w的初值不太敏感。

IRLS法

irls.py实现了IRLS法求解Logistic Regression。

依赖库：

numpy
sklearn

代码文件的使用方法：

irls.py -h
usage: irls.py [-h] [--data DATA] [--lamb LAMB] [--cross]
               [--patience PATIENCE]

Using gradient descent to solve logistic regression.

optional arguments:
  -h, --help           show this help message and exit
  --data DATA          Directory of the a9a data.
  --lamb LAMB          Regularization constant.
  --cross              Do cross validation or not.
  --patience PATIENCE  Patience to stop.

在不使用10折验证时，代码的运行结果如下表（lambda是正则化常数）：

lambda	step	train acc	test acc	w norm
0	11	1.0000	1.0000	34.7406
0.0001	11	1.0000	1.0000	30.5984
0.001	11	1.0000	1.0000	25.9729
0.01	11	1.0000	1.0000	20.9657
0.1	12	1.0000	1.0000	16.2047
1	12	0.9999	1.0000	11.8451

可以看出，在正则化常数不同时，模型在训练集和测试集上的准确率相差不大，只有w的值有所不同，正则化常数越大，w的L2-norm越小。

在使用10折验证时，代码的运行结果如下表：

lambda	ave step	ave train acc	ave val acc	ave test acc	final test acc	final w norm
0	8.4	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	26.1409
0.0001	8.5	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	24.2089
0.001	7.3	1.0000	0.9999	1.0000	1.0000	20.0847
0.01	8.0	1.0000	1.0000	0.9999	1.0000	17.6599
0.1	6.5	1.0000	0.9998	1.0000	0.9999	13.8871
1	6.0	0.9999	0.9998	0.9999	0.9999	11.0648

可以看出，正则化常数越大，w的L2-norm越小，且收敛速度越快；其他准确率则没有明显差别。

值得注意的是：

在不加正则化项时，Hessian矩阵可能为奇异矩阵，需要用伪逆（np.linalg.pinv）。
牛顿法对w的初值敏感，如果设置得太大，会导致梯度失效。

虽然IRLS法所需的迭代次数较少，而且比较稳定（在w的初始值设置较好的前提下），但由于每次迭代都需要计算较大的矩阵乘法和求逆，因此整体效率比梯度上升法差。

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